Question

C полным разбором, пожалуйста.

Answer 1

1 задание.

$( \frac{a + 9}{a - 9} - \frac{a - 9}{a + 9} ) \div \frac{18 {a}^{2} }{81 - {a}^{2} } = - \frac{2}{a}$

1) Для начала разберём выражение в скобках. Нужно найти общий знаменатель, так как $(a - 9)$ и $(a + 9)$ нельзя разложить на множители, то общий знаменатель для этих знаменателей будет результат их произведения, то есть $(a - 9)(a + 9)$.

Для того, чтобы привести первую дробь к общему знаменателю, нужно домножить числитель первой дроби на $(a + 9)$, чтобы привести вторую дробь — домножить числитель второй дроби на $(a - 9)$. Получается:

$\frac{a + 9}{a - 9} - \frac{a - 9}{a + 9} = \frac{(a + 9)(a + 9)}{(a - 9)(a + 9)} - \frac{(a - 9)(a - 9)}{(a - 9)(a + 9)} = \frac{ {(a + 9)}^{2} }{(a - 9)(a + 9)} - \frac{ {(a - 9)}^{2} }{(a - 9)(a + 9)} = \frac{ {(a + 9)}^{2} - {(a - 9)}^{2} }{(a - 9)(a + 9)} = ...$

В числителе и знаменателе формула сокращенного умножения — разность квадратов: ${a}^{2} - {b}^{2} = (a - b)(a + b)$, преобразуем:

$... = \frac{ {(a + 9)}^{2} - {(a - 9)}^{2} }{(a - 9)(a + 9)} = \frac{((a + 9) - (a - 9))((a + 9) + (a - 9))}{ {a}^{2} - {9}^{2} } = \frac{(a + 9 - a + 9)(a + 9 + a - 9)}{ {a}^{2} - 81} = \frac{18 \times 2a}{ {a}^{2} - 81 } = \frac{36a}{ {a}^{2} - 81 }$

2) $\frac{36a}{ {a}^{2} - 81} \div \frac{18 {a}^{2} }{81 - {a}^{2} } = ...$

Деление на дробь — умножение на обратную ей дробь, то есть числитель и знаменатель меняется местами

$\frac{36a}{ {a}^{2} - 81} \div \frac{18 {a}^{2} }{81 - {a}^{2} } = \frac{36a}{ {a}^{2} - 81} \times \frac{81 - {a}^{2} }{18 {a}^{2} } = \frac{36a}{ - ( - {a}^{2} + 81) } \times \frac{81 - {a}^{2} }{18 {a}^{2} } = - \frac{36a}{81 - {a}^{2} } \times \frac{81 - {a}^{2} }{18 {a}^{2} } = - \frac{36a \times (81 - {a}^{2}) }{(81 - {a}^{2}) \times 18 {a}^{2} } = - \frac{36a}{18 {a}^{2} } = - \frac{2}{a}$

2 задание.

$(3x - \frac{6x}{x + 5} ) \div \frac{9x + 27}{8x + 40} = \frac{8x}{3}$

1) $3x - \frac{6x}{x + 5} = \frac{3x}{1} - \frac{6x}{x + 5} = ...$

Аналогично с первым заданием — общим знаменателем будет произведение двух знаменателей, то есть $(x + 5)$. Для приведения к общему знаменателю нужно числитель первой дроби домножить на $(x + 5)$. Получается:

$... = \frac{3x \times (x + 5)}{x + 5} - \frac{6x}{x + 5} = \frac{3 {x}^{2} + 15x }{x + 5} - \frac{6x}{x + 5} = \frac{3 {x}^{2} + 15x - 6x }{x + 5} = \frac{3 {x}^{2} + 9x }{x + 5}$

2) Деление на дробь — умножение на обратную дробь:

$\frac{3 {x}^{2} + 9x }{x + 5} \div \frac{9x + 27}{8x + 40} = \frac{3 {x}^{2} + 9x }{x + 5} \times \frac{8x + 40}{9x + 27} = \frac{(3 {x}^{2} + 9x) \times (8x + 40) }{(x + 5) \times (9x + 27)} = \frac{3x(x + 3) \times 8(x + 5)}{(x + 5) \times 9(x + 3)} = \frac{3 \times x \times 8}{3 \times 3} = \frac{8x}{3}$

3 задание.

$\frac{2a}{a - 5} - \frac{a + 7}{4a - 20} \times \frac{200}{ {a}^{2} + 7a} = \frac{2a + 10}{a}$

1) $\frac{a + 7}{4a - 20} \times \frac{200}{ {a}^{2} + 7a} = \frac{(a + 7) \times 200}{(4a - 20) \times ( {a}^{2} + 7a) } = \frac{(a + 7) \times 200}{4(a - 5) \times a(a + 7)} = \frac{200}{4(a - 5) \times a} = \frac{50}{a \times (a - 5)}$

2) $\frac{2a}{a - 5} - \frac{50}{a \times (a - 5)} = ...$

Чтобы привести к общему знаменателю, нужно домножить первую дробь на $a$, получается

$... = \frac{2a \times a}{a(a - 5)} - \frac{50}{a(a - 5)} = \frac{2 {a}^{2} }{a(a - 5)} - \frac{50}{a(a - 5)} = \frac{2 {a}^{2} - 50}{a(a - 5)} = \frac{2( {a}^{2} - 25) }{a(a - 5)} = ...$

В числителе формула сокращённого умножения — разность квадратов — смотри в первом задании.

$... = \frac{2( {a}^{2} - {5}^{2} ) }{a(a - 5)} = \frac{2(a - 5)(a + 5)}{a(a - 5)} = \frac{2(a + 5)}{a} = \frac{2a + 10}{a}$