При отказе двигателя вертолета и остановке винта, произошедшей на высоте h1 = 600 м, пилот перешел в режим авторотации и винт стал раскручиваться потоком воздуха, набегающим при падении вертолета.
Определить высоту h2, на которой возможно возникновение подъемной силы винта, если известно:
1) подъемная сила возникает при скорости вращения винта n = 900 об/мин;
2) винт имеет четыре лопасти, каждую из которых можно считать однородным стержнем длиной l = 4 м и массой mл = 50 кг;
3) масса вертолета (без винта) mв = 1 т;
4) скорость падения вертолета на высоте h2 равна v = 20 м/с.
Ответы
Вроде как задача решается на школьном уровне энергетическим подходом. А если так, то формулировку "при отказе двигателя вертолёта и остановке винта, произошедшей на высоте h₁...", видимо, нужно трактовать как "двигатель вертолёта отказал и винт сразу же остановился на высоте h₁". Ну то есть в реальности при отказе двигателей вертолёта винт (насколько я понимаю, конечно) вообще не останавливается - он лишь теряет в оборотах. Насколько теряет - это будет зависеть от профессионализма пилота.
Мгновенную остановку винта дают для того, чтобы можно было определить механическую энергию системы "корпус-винт" в точке h₁, коей будет являться потенциальная энергия этой системы (Е₁ = Еp₁), т.к. считаем, что в начальный момент времени наблюдения вертолёт находится в состоянии покоя. Ведь получается, что вертолёт падает строго вертикально - в условиях не дают угла к горизонту, ничего не говорят про горизонтальную скорость... В общем, полагаем, что изначально вертолёт поднимался вертикально, потом двигатели отказали, а винт мгновенно остановился. Вертолёт завис, после чего стал вертикально падать, а пилот перешёл в аварийный режим - авторотацию (режим самовращения несущего винта). Также пренебрегаем диссипацией механической энергии (той её частью, которая при падении вертолёта и раскручивании винта переходит в тепло) - считаем, что работает закон сохранения полной механической энергии.
Дано:
h₁ = 600 м
n = 900 об/мин
L = 4 м
m_л = 50 кг
m_в = 1 т = 1000 кг
υ = 20 м/с
g = 10 м/с²
h₂ - ?
Решение:
Считаем, что винт остановился мгновенно, падение вертолёта - вертикальное. Диссипацией энергии пренебрегаем. Тогда будет действовать закон сохранения полной механической энергии.
На высоте h₁ система тел "корпус-винт" имеет механическую энергию, равную потенциальной энергии этой системы:
Е₁ = Еp₁, где Ep₁ = (m_в + 4m_л)*g*h₁
При падении вертолёта его корпус и винт движутся вертикально, при этом винт ещё и раскручивается постепенно. Теоретически можно полагать следующее: по мере падения вертолёта с высоты h₁ на высоту h₂ его потенциальная энергия тратится на увеличение кинетической энергии поступательного движения системы "корпус-винт" и преодоление сил сопротивления воздуха:
Ep₁ - Ep₂ = ΔEk + A = Ek - Ek₀ + A = Ek - 0 + A = Ek + A, где А - работа сил сопротивления воздуха
Однако работа этих сил идёт на увеличение кинетической энергии вращательного движения винта:
А = ΔEk' = Ek' - Ek'₀ = Ek' - 0 = Ek'
Тогда получается, что потенциальная энергия вертолёта переходит в кинетическую энергию поступательного движения корпуса и винта, а также - в кинетическую энергию вращательного движения винта. В итоге потенциальная энергия вертолёта уменьшается ровно настолько, насколько увеличивается его суммарная кинетическая. Тогда уравнение закона сохранения полной механической энергии будет выглядеть так:
Е₁ = Е₂
Еp₁ = Ep₂ + Ek + Ek'
Ep₂ = (m_в + 4m_л)*g*h₂
Ek = (m_в + 4m_л)*υ²/2
Ek' = ΣIω²/2,
где ΣI - суммарный момент инерции лопастей винта, а ω - угловая скорость, одинаковая для каждой из лопастей. Лопасти согласно условиям задачи эквивалентны однородным стержням. Момент инерции однородного стержня, который вращается вокруг оси, проходящей через его центр, равен:
I = mL²/12
Однако каждая из лопастей винта крутится вокруг оси, проходящей через её конец. Мы можем применить довольно простую теорему Штейнера, чтобы вычислить момент инерции относительно оси, проходящей через конец стержня: I = I₀ + md², где I₀ - момент инерции относительно оси через центр тела, d - расстояние между центральной осью и осью, относительно которой ищется новый момент инерции. Но можем сделать и по-другому. Считаем, что две лопасти, вращающиеся друг напротив друга - это одна лопасть. Тогда масса такой лопасти равна удвоенной массе m_л, а длина - удвоенной длине L. Ось вращения - центр. Момент инерции будет равен:
I = 2m_л*(2L)²/12 = 2m_л*4L²/12 = 2m_л*L²/3
Т.к. таких лопастей у нас две, то суммарный момент инерции равен:
ΣI = 2*I = 2*2m_л*L²/3 = 4m_л*L²/3
Из кинематики вращательного движения угловая скорость равна:
ω = 2π/Т
T = 1/ν, где ν измеряется в Гц или в с⁻¹, т.е. ν = n/60, т.к. в одной минуте содержится 60 секунд =>
=> T = 1/(n/60) = 60/n =>
=> ω = 2π/(60/n) = 2πn/60 =>
=> Ek' = ΣIω²/2 = (4m_л*L²/3)*(2πn/60)²*(1/2) = 4m_л*L²*4π²n²/(3*3600*2) = 16m_л*L²*π²n²/(6*3600) = m_л*L²*π²n²/(3*450) = m_л*L²*π²n²/1350
Подставляем в уравнение закона сохранения все найденные конечные выражения:
(m_в + 4m_л)*g*h₁ = (m_в + 4m_л)*g*h₂ + (m_в + 4m_л)*υ²/2 + m_л*L²*π²n²/1350
Выражаем h₂:
(m_в + 4m_л)*g*h₂ = (m_в + 4m_л)*g*h₁ - (m_в + 4m_л)*υ²/2 - m_л*L²*π²n²/1350
(m_в + 4m_л)*g*h₂ = (m_в + 4m_л)*(gh₁ - υ²/2) - m_л*L²*π²n²/1350 | : [g*(m_в + 4m_л)]
h₂ = (gh₁ - υ²/2)/g - m_л*L²*π²n²/(1350*g*(m_в + 4m_л))
h₂ = h₁ - υ²/(2g) - [m_л*L²*π²n²/(1350*g*(m_в + 4m_л))] = 600 - 20²/(2*10) - [50*4²*3,14²*900²/(1350*10*(1000 + 4*50))] ≈ 185,61... ≈ 185,6 м
Ответ: примерно 185,6 м.