Question

СРОЧНО!!! ПОЖАЛУЙСТА!! очень надо
Розв'язати нерівність:
x^2+(a^2+b^2-c^2)*x+a^2*b^2>0
якщо a, b, c довжини сторін трикутника ​

Answer 1

$x^2+(a^2+b^2-c^2)x+a^2b^2>0$

Требуется решить это неравенство при условии, что a, b, c - стороны треугольника. Как известно, положительные числа могут быть длинами сторон треугольника, тогда и только тогда, когда сумма любых двух чисел больше третьего числа, то есть  a+b>c; b+c>a; c+a>b (это - так называемые неравенства треугольника).

Вычислим дискриминант данного квадратного трехчлена:

$D=(a^2+b^2-c^2)^2-4a^2b^2=(a^2+b^2-c^2)^2-(2ab)^2=$

$=(a^2+b^2-c^2-2ab)(a^2+b^2-c^2+2ab)=\left((a-b)^2-c^2\right)\left((a+b)^2-c^2\right)=$

$=(a-b-c)(a-b+c)(a+b-c)(a+b+c)=$

$=-(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)(a+b+c).$

Последняя скобка положительна в силу положительности чисел a, b, c, первые три положительны в силу неравенства треугольника. Учитывая минус перед скобками, делаем вывод, что дискриминант отрицателен, то есть график квадратного трехчлена не пересекается с осью абсцисс, а раз старший коэффициент положителен, график расположен выше оси абсцисс. Иными словами, неравенство выполнено при всех значениях неизвестной.

Ответ: $x\in (-\infty;+\infty).$

На этом можно было бы поставить точку, но хочется обратить внимание потенциального читателя на получившееся разложение дискриминанта на скобки. Вспомнив формулу Герона для площади треугольника

$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},$ где p - полупериметр, то есть

$p=\dfrac{a+b+c}{2};\ p-a=\dfrac{b+c-a}{2};\ p-b=\dfrac{a+c-b}{2};\ p-c=\dfrac{a+b-c}{2},$

делаем вывод, что дискриминант  $D=-16S^2.$ Впрочем, это замечание не имеет никакого отношения к задаче. Но ведь красиво?!