Question

Точки М и N- середина сторон BC и CD параллелограмма ABCD. Разложить вектор DC по векторам a = AM и b = AN.​​

Answer 1

Для параллелограмма $ABCD$ можно записать следующие соотношения между векторами:

$\vec{AB}=\vec{DC}$

$\vec{AD}=\vec{BC}$

Так как точка $M$ - середина стороны $BC$, а точка $N$ - середина стороны $CD$, то:

$\vec{BM}=\dfrac{1}{2} \vec{BC}$

$\vec{DN}=\dfrac{1}{2} \vec{DC}$

Распишем векторы $\vec{AM}$ и $\vec{AN}$:

$\vec{AM}=\vec{AB}+\vec{BM}=\vec{DC}+\dfrac{1}{2} \vec{BC}$

$\vec{AN}=\vec{AD}+\vec{DN}=\vec{BC}+\dfrac{1}{2} \vec{DC}$

Заметим, что в двух полученных равенствах желательно избавиться от вектора $\vec{BC}$.

Из соотношения для вектора $\vec{AM}$ выразим вектор $\vec{BC}$:

$\vec{AM}=\vec{DC}+\dfrac{1}{2} \vec{BC}$

$\dfrac{1}{2} \vec{BC}=\vec{AM}-\vec{DC}$

$\vec{BC}=2\vec{AM}-2\vec{DC}$

Подставим в соотношение для вектора $\vec{AN}$:

$\vec{AN}=\vec{BC}+\dfrac{1}{2} \vec{DC}$

$\vec{AN}=2\vec{AM}-2\vec{DC}+\dfrac{1}{2} \vec{DC}$

$\vec{AN}=2\vec{AM}-\dfrac{3}{2} \vec{DC}$

Остается выразить вектор $\vec{DC}$:

$\dfrac{3}{2} \vec{DC}=2\vec{AM}-\vec{AN}$

$3\vec{DC}=4\vec{AM}-2\vec{AN}$

$\vec{DC}=\dfrac{4}{3} \vec{AM}-\dfrac{2}{3} \vec{AN}$

Учитывая, что $\vec{a} = \vec{AM}$ и $\vec{b}=\vec{AN}$:

$\boxed{\vec{DC}=\dfrac{4}{3} \vec{a}-\dfrac{2}{3} \vec{b}}$