Question

ДАЮ 30 БАЛЛОВ!!!! ПОЖАЛУЙСТА, АЛГЕБРА, ЛОГАРИФМЫ

РЕШИТЕ, пожалуйста

Answer 1

ОДЗ: x+5>0 (отсюда будет следовать положительность всех выражений, ст оящих под знаком логарифмов). Поскольку сумма логарифмов равна логарифму произведения, получаем

$\log_{15}\left( (x^2(x+5)+1\right)\le \log_{15}\left(\dfrac{x^2+x+5}{2}\right)^2,$   а поскольку основание логарифмов больше 1, логарифмы можно отбросить, получив

$4x^2(x+5)+4\le (x^2)^2+2x^2(x+5)+(x+5)^2;$

$(x^2)^2-2x^2(x+5)+(x+5)^2\ge 4;\ (x^2-(x+5))^2-2^2\ge 0;$

$(x^2-x-7)(x^2-x-3)\ge 0;$

$\left(x-\frac{1-\sqrt{29}}{2}\right)\left(x-\frac{1+\sqrt{29}}{2}\right) \left(x-\frac{1-\sqrt{13}}{2}\right)\left(x-\frac{1+\sqrt{13}}{2}\right)\ge 0.$

Решая получившееся неравенство методом интервалов и учитывая ОДЗ, получаем ответ:

$x\in \left(-5;\dfrac{1-\sqrt{29}}{2}\right]\cup\left[\dfrac{1-\sqrt{13}}{2};\dfrac{1+\sqrt{13}}{2}\right]\cup\left[\dfrac{1+\sqrt{29}}{2};+\infty\right)$