Question

В круг радиуса 2 вписан правильный 10-угольник. Найти вероятность того, что наугад выбранная точка круга находится в 10-угольнике.

Answer 1

Геометрическая вероятность: $P=\dfrac{\mu(A)}{\mu(\Omega)}$.

Поскольку правильный десятиугольник находится внутри круга $A\subset\Omega$, то $\mu(\Omega)=\pi R^2=4\pi$

Тогда площадь десятиугольника:

$\mu (A)=\dfrac{Pr}{2}=\dfrac{an\cdot r}{2}=\dfrac{2R \sin\frac{180^\circ}{10}\cdot10\cdot R\cos \frac{180^\circ}{10}}{2}=40\sin18^\circ\cos18^\circ=$

$=20\sin36^\circ$

Искомая вероятность: $P=\dfrac{20\sin36^\circ}{4\pi}=\dfrac{5\sin36^\circ}{\pi}$