Question

Даны четыре точки A1(x1,y1,z1), A2(x2,y2,z2) A3(x3,y3,z3), A4(x4,y4,z4).Составить уравнения:
а)плоскости А1 А2 А3;
б)прямой А1 А2;
в)прямой А4М перпендикулярной к плоскости А1 А2 А3;
г)прямой А3 N параллельной прямой А1 А2
д)плоскости проходящей через точку А4 перпендикулярно к прямой А1 А2
Вычислить:
e) синус угла между прямой A1A4 и плоскостью A1A2A3
ж) косинус угла между координатной плоскостью Oxy и плоскостью A1A2A3
А1(9,5,5), А2(-3,7,1), А3(5,7,8), А4(6,9,2)

Answer 1

Даны четыре точки А1(9,5,5), А2(-3,7,1), А3(5,7,8), А4(6,9,2).

Составить уравнения:

а) плоскости А1А2А3;

Находим векторы А1А2 и А1А3.

А1А2 = (-3-9; 7-5; 1-5) = (-12; 2; -4).

А1А3 = (5-9; 7-5; 8-5) = (-4; 2; 3).

Нормальный вектор плоскости А1А2А3 находим из векторного произведения векторов А1А2 и А1А3.

  i         j        k|        i         j

-12       2       -4|      -12      2

-4        2        3|       -4       2 = 6i + 16j - 24k + 36j + 8i + 8k =

                                            = 14i + 52j - 16k.

Нормальный вектор равен (14; 52; -16).

Подставляем найденные координаты нормального вектора в уравнение плоскости:

(x−9)⋅14+(y−5)⋅52+(z−5)⋅(−16)=0. После сокращения на 2 получаем:

7x+26y−8z−153=0.

б) прямой А1А2;

Направляющий вектор найден выше: А1А2 = (-12; 2; -4).

Уравнение А1А2: (x - 9)/(-12) = (y - 5)/2 = (z - 5)/(-4).

в) прямой А4М перпендикулярной к плоскости А1А2А3;

Направляющим вектором прямой А4М является нормальный вектор плоскости А1А2А3, равный (14; 52; -16).

Уравнение А4М: (x - 6)/14 = (y - 9)/52 = (z - 2)/(-16).

г) прямой А3 N параллельной прямой А1А2.

У этой прямой направляющий вектор равен вектору А1А2,

равный (-12; 2; -4).

Уравнение А3N: (x - 5)/(-12) = (y - 7)/2 = (z - 8)/(-4).

д) плоскости проходящей через точку А4 перпендикулярно к прямой А1 А2.

У этой плоскости нормальный вектор совпадает с вектором А1А2.

(x−6)⋅(-12)+(y−9)⋅2+(z−2)⋅(−4)=0.

-12x + 72 + 2y - 18 - 4z + 8 = 0.

-12x + 2y - 4z + 62 = 0. после сокращения на -2 получаем

6x - y + 2z - 31 = 0.

Вычислить:

e) синус угла между прямой A1A4 и плоскостью A1A2A3.

sin a =    214          = 0,65329.

         327,5729  

a =  0,7119 радиан или   40,7901 градуса.

ж) косинус угла между координатной плоскостью Oxy и плоскостью A1A2A3.

Координатная плоскость Oxy имеет уравнение z = 0.

Уравнение плоскости А1А2А3: 7x + 26y − 8z − 153 = 0.

Вычислим угол между плоскостями

z = 0 и  7x + 26y - 8z - 153 = 0

cos α = |A1·A2 + B1·B2 + C1·C2|/(√(A1² + B1² + C1²)* √(A2² + B2² + C2²)).

cos α = |0·7 + 0·26 + 1·(-8)|/(√(0² + 0² + 1²)* √(7² + 26² + (-8)²)) =

= |0 + 0 + (-8)|/(√(0 + 0 + 1)* √(49 + 676 + 64)) =

= 8/√1* √789 = 8/√789 = 8√789/789 ≈ 0,2848.

α = 73,4527°.