Question

Найти проекцию точки А(1; 1; –1) на плоскость 3x + y + z + 8 = 0.

Answer 1

Составим уравнение прямой АВ, проходящей через точку А, перпендикулярной заданной плоскости и пересекающей её в точке В.

Направляющим вектором этой прямой будет нормальный вектор заданной плоскости, равный (3; 1; 1).

Уравнение АВ: (x – 1)/3 = (y - 1)/1 = (z + 1)/1.

Приравняем каждую дробь параметру t и выразим с его помощью координаты точек прямой АВ: (x – 1)/3 = (y - 1)/1 = (z + 1)/1 = t.

x = 3t + 1,

y = 1t + 1,

z = 1t - 1.

Подставим эти выражения в уравнение плоскости.

3(3t + 1) + 1(1t + 1) + 1(1t-1) + 8 = 0,

9t + 3 + 1t + 1 + 1t – 1 = 0,

11t = -3,

t = -3/11.

Получаем координаты проекции точки А на заданную плоскость.

x(В) = 3(-3/11) + 1 = 2/11,

y(В) = 1*(-3/11) + 1 = 8/11,

z(В) = 1*(3/11) - 1 = -8/11.