Question

Решите уравнение:


1) 4^x-1 -3*2^x-2 = 10;


2) 6^x +6^x-1 -6^x-2 = 7^x -8*7^x-2;

Answer 1

1)

$4^{x-1}-3\cdot2^{x-2}=10\\\\{(2^2)}^{x-1}-3\cdot2^x\cdot2^{-2}=10\\\\2^{2x-2}-3\cdot2^x\cdot2^{-2}=10\\\\2^{2x}\cdot2^{-2}-3\cdot2^x\cdot2^{-2}=10\\\\2^{-2}\Big(2^{2x}-3\cdot2^x\Big)=10\\\\(2^x)^2-3\cdot2^x=10:\dfrac14\\\\(2^x)^2-3\cdot2^x-40=0$

Сделаем замену

$2^x=y$

$y^2-3y-40=0$

$\boxed{D = b^2-4ac}\\\\D=(-3)^2-4(-40)=169$

169 > 0  =>  2 корня

$\sqrt{169}=13\\\\\begin{array}{lcl}y_1=\dfrac{3-13}2=-5\\\\y_2=\dfrac{3+13}2=8\end{array} \qquad\qquad\boxed{y=\dfrac{-b\underline+\sqrt{D}}{2a}}$

Следовательно,

$2^x=-5$ , чего быть не может (функция $a^x$ не отрицательна)

$2^x=8\\2^x=2^3\\x=3$

Ответ:  x = 3

2)

$6^x+6^{x-1}-6^{x-2}=7^x-8\cdot7^{x-2}\\\\6^x+6^x\cdot6^{-1}-6^x\cdot6^{-2}=7^x-8\cdot7^x\cdot7^{-2}\\\\6^x\bigg(1+\dfrac16-\dfrac1{36}\bigg)=7^x\bigg(1-8\cdot\dfrac1{49}\bigg)\\\\6^x\bigg(\dfrac{36+6-1}{36}\bigg)=7^x\bigg(\dfrac{49-8}{49}\bigg)\\\\\dfrac{41}{36}:\dfrac{41}{49}=\dfrac{7^x}{6^x}\\\\\dfrac{41}{36}\cdot\dfrac{49}{41}=\bigg(\dfrac76\bigg)^x\\\\\bigg(\dfrac76\bigg)^x=\dfrac{49}{36}\\\\\bigg(\dfrac76\bigg)^x=\dfrac{7^2}{6^2}\\\\\bigg(\dfrac76\bigg)^x=\bigg(\dfrac76\bigg)^2\\\\x=2$

Ответ:  x = 2