Question

найдите все значения x, при которых неравенство *на фото* обращается в равенство​

Answer 1

Ответ:

$\left [\begin{array}{lcl} x= - 3\\x = - 2 \\\end{array}\right.$

Объяснение:

${x}^{2} + 5x + 7 + \frac{1}{ {x}^{2} + 5x + 7} \geqslant 2$

ОДЗ: знаменатель не может быть равен нулю.

${x}^{2} + 5x + 7 \neq0\\ {x}^{2} + 2 {\cdot}2.5x + 6.25 + 0.75\neq0 \\ (x + 2.5)^{2} + 0.75\neq0 \: = > x \in \R\: \\ m.k. \: (x + 2.5)^{2} + 0.75 \geqslant 0.75 \: \: \forall{ \: x} \in \R$

Замена:

$t={x}^{2} + 5x + 7 \\ t \geqslant 0.75$

$t + \frac{1}{t} \geqslant 2 \: \: \: \bigg| \times t \\ t \geqslant 0.75 = > t + \frac{1}{t} > 0 \\ {t}^{2} + 1 \geqslant 2t \\ {t}^{2} - 2t + 1 \geqslant 0 \\ (t - 1)^{2} \geqslant 0 \: = > t \in \R \\ (t - 1)^{2} = 0 < = > t = 1$

Обратная замена:

$t=1 \: < = > \: {x}^{2} + 5x + 7 = 1 \\ {x}^{2} + 5x + 7 - 1 = 0 \\ {x}^{2} + 5x +6 = 0 \\ D = 5^2{-}4{\cdot}6= 25{-}24=1>0 \\ x = \frac{ - 5 \pm \sqrt{1} }{2} \\ \left [\begin{array}{lcl}x= \frac{- 5 - 1}{2} \\ x = \frac{- 5 + 1}{2}\\ \end{array}\right. < = > \left [\begin{array}{lcl}x= - 3\\ x = - 2 \\\end{array}\right.$