Question

Решить уравнение: |x − 1| + |x − 2| = |x − 3| + 4

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

$|x-1|+|x-2|=|x-3|+4\\|x-1|+|x-2|-|x-3|-4=0$

Введем функцию: $f(x)=|x-1|+|x-2|-|x-3|-4$.

Она непрерывна на всей области определения.

Заметим, что:

• При $x\le1$ все модули раскрываются со знаком минус, поэтому получим монотонно убывающую функцию.
• При $x\ge3$ все модули раскрываются со знаком плюс, поэтому получим монотонно возрастающую функцию.
• При $1<x<3$ первый модуль раскрывается со знаком плюс, а третий со знаком минус. Поэтому вне зависимости от того, как раскроется второй модуль, получим монотонно возрастающую функцию.

Тогда $f(x)$ монотонно убывает на промежутке $(-\infty;\;1]$ и монотонно возрастает на промежутке $[1;\;+\infty)$.

Теперь можно подбором получить корни $x=\pm4$, а выше сказанное позволяет утверждать, что они единственные.

Задание выполнено!