Question

Известно, что cosα+cosβ+cosγ=√1/5
sinα+sinβ+sinγ=√4/5
Найдите cos(α−β)+cos(β−γ)+cos(γ−α)
Пожалуйста, помогите

Answer 1

Ответ:

-1

Пошаговое объяснение:

Возведём оба равенства в квадрат:

$(\cos{\alpha}+\cos{\beta}+\cos{\gamma})^2=\sqrt{\dfrac{1}{5}}^2\Leftrightarrow\\\Leftrightarrow\cos^2{\alpha}+\cos^2{\beta}+\cos^2{\gamma}+2(\cos{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\beta}\cos{\gamma}+\cos{\gamma}\cos{\alpha})=\dfrac{1}{5}\\(\sin{\alpha}+\sin{\beta}+\sin{\gamma})^2=\sqrt{\dfrac{4}{5}}^2\Leftrightarrow\\\Leftrightarrow\sin^2{\alpha}+\sin^2{\beta}+\sin^2{\gamma}+2(\sin{\alpha}\sin{\beta}+\sin{\beta}\sin{\gamma}+\sin{\gamma}\sin{\alpha})=\dfrac{4}{5}$

Сложим оба равенства:

$\cos^2{\alpha}+\sin^2{\alpha}+\cos^2{\beta}+\sin^2{\beta}+\cos^2{\gamma}+\sin^2{\gamma}+2(\cos{\alpha}\cos{\beta}+\\+\sin{\alpha}\sin{\beta}+\cos{\beta}\cos{\gamma}+\sin{\beta}\sin{\gamma}+\cos{\gamma}\cos{\alpha}+\sin{\gamma}\sin{\alpha})=\dfrac{1}{5}+\dfrac{4}{5}\Leftrightarrow\\\Leftrightarrow 1+1+1+2(\cos{(\alpha-\beta)}+\cos{(\beta-\gamma)}+\cos{(\gamma-\alpha)})=1\Leftrightarrow\\\Leftrightarrow 2(\cos{(\alpha-\beta)}+\cos{(\beta-\gamma)}+\cos{(\gamma-\alpha)})=-2\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \cos{(\alpha-\beta)}+\cos{(\beta-\gamma)}+\cos{(\gamma-\alpha)}=-1$