Question

докажите что число 3+3^2+...+3^120  делится на 5

Answer 1

$sumlimits_{i = 1}^{120} 3^i = 3 + 3^2 + ... + 3^{120} =\\ =3 + 3^3 + 3^2 + 3^4 +... + 3^{117} + 3^{119} + 3^{118} + 3^{120} =\\ =sumlimits_{i = 1}^{30} (3^{4i-1} + 3^{4i-3} + 3^{4i-2} + 3^{4i})= \\ = sumlimits_{i = 1}^{30} (3^{4i-1}*(1 + 3^2) + 3^{4i-2}*(1 + 3^2)) =$

$= sumlimits_{i = 1}^{30} ((3^{4i-1} + 3^{4i-2})*(1 + 3^2)) =\\=(1 + 3^2)*sumlimits_{i = 1}^{30} (3^{4i-1} + 3^{4i-2}) = 10*sumlimits_{i = 1}^{30} (3^{4i-1} + 3^{4i-2}) =\\ = 5*(2*sumlimits_{i = 1}^{30}(3^{4i-1} + 3^{4i-2}))$

Answer 2

Мы разбили исходную последовательность на пары определенного вида (какого, видно из второй и третьей строки решения). После, вынесли из каждой пары одинаковый множитель, который, очень кстати, делится на пять.

Answer 3

круто

Answer 4

Если бы это можно было записать коротко (и понятно) без использования знаков суммы, я бы и не использовал их для записи решения. Но, к сожалению, запись без использования этих знаков была чрезвычайно растянутой, и, более того, не настолько же строгой в математическом отношении.