Question

Прямая, проходящая через середины M и N диагоналей четырёхугольника ABCD, пересекает стороны AB и CD в точках X и Y соответственно и образует со сторонами четырёхугольника углы ∠BXM = 50° и ∠CYN = 80°. Найдите MN, если BC = 7, CD = 10

Answer 1

Ответ:

5 ед.

Объяснение:

Дано: ABCD - четырехугольник;

АС и ВD - диагонали.

АМ = МС; BN = ND;

∠BXM = 50° ; ∠CYN = 80°;

BC = 7, CD = 10

Найти: MN.

Решение:

Отметим точку Р - середину отрезка ВС и соединим ее с точками М и N.

1. Рассмотрим ΔBCD.

BP = PC (построение)

BN = ND (условие)

⇒ NP - средняя линия ΔBCD.

• Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.

⇒ NP || CD;  

$\displaystyle NP =\frac{1}{2} CD$ .

NP = 10 : 2 = 5

2. Рассмотрим ΔАВС.

BP = PC (построение)

АМ = МС (условие)

⇒ МР - средняя линия ΔBCD.

МР || АВ.

3. Рассмотрим ΔМРN.

∠1 = ∠ВХМ =50° (соответственные при АВ || МР и секущей ХY)

∠2 = ∠CYN = 80° (соответственные при NP || CD и секущей ХY)

• Сумма углов треугольника равна 180°.

⇒ ∠3 = 180° - ∠1 - ∠2 = 50°.

• Если у треугольника два угла равны, то этот треугольник — равнобедренный.

⇒ ΔМРN - равнобедренный.

МN = NP = 5.