Question

Вычислить двойной интеграл по области D,ограниченной линиями.​

Answer 1

Ответ:

$D:\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2\leq 2y\\x\geq 0\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}x^2+(y^2-2y)\leq 0\\x\geq 0\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}x^2+(y-1)^2\leq 1\\x\geq 0\end{array}\right$

$x^2+(y-1)^2\leq 1$   - это круг , центр которого находится в точке (0,1) , радиус равен R=1 .

Так как задано неравенство  $x\geq 0$ , то область D - это полукруг, который находится в правой полуплоскости .

Перейдём к полярным координатам :  $x=r\, cos\varphi \ ,\ y=r\, sin\varphi$  .

Запишем уравнение окружности, ограничивающей заданный полукруг, в полярных координатах .

$x^2+y^2-2y=0\ \ \Rightarrow \ \ r^2\, cos^2\varphi +r^2\, sin^2\varphi -2r\, sin\varphi =0\ \ ,\\\\r^2(\underbrace{cos^2\varphi +sin^2\varphi }_{1})-2r\, sin\varphi =0\ \ ,\ \ r\cdot (r-2\, sin\varphi )=0\ \ \Rightarrow \ \ r\ne 0\ ,\ r>0\ ,\\\\r-2\, sin\varphi =0\ \ ,\ \ \underline {\ r=2\, sin\varphi \ }$

$\displaystyle \iint\limits _{D}\, \sqrt{4-x^2-y^2}\, dx\, dy=\int\limits^{\pi /2}_0\, d\varphi \int\limits^{2sin\varphi }_0\, \sqrt{4-r^2}\cdot r\, dr=\\\\\\=\int\limits^{\pi /2}_0\, d\varphi \left(-\frac{1}{2}\int\limits^{2sin\varphi }_0\, \sqrt{4-r^2}\cdot d(4-r^2)\right)=-\frac{1}{2}\int\limits^{\pi /2}_0\, d\varphi \left(\frac{2\, (4-r^2)^{\frac{3}{2}}}{3}\right)\Big |_0^{2sin\varphi }=$

$\displaystyle =-\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}\int\limits^{\pi /2}_0\, \left((4-4sin^2\varphi )^{\frac{3}{2}}-4^{\frac{3}{2}}\right)\, d\varphi =-\frac{1}{3}\int\limits^{\pi /2}_0\, \left(4^{\frac{3}{2}}(\underbrace{1-sin^2\varphi }_{cos^2\varphi })^{\frac{3}{2}}-4^{\frac{3}{2}}\right)\, d\varphi =$

$\displaystyle =-\frac{1}{3}\cdot 4^{\frac{3}{2}}\int\limits^{\pi /2}_0\, \left((cos^2\varphi )^{\frac{3}{2}}-1\right)\, d\varphi =-\frac{\sqrt{4^3}}{3}\int\limits^{\pi /2}_0\, \left(cos^3\varphi -1\right)\, d\varphi =\\\\\\=-\frac{2^3}{3}\int\limits^{\pi /2}_0\, \left(cos^2\varphi \cdot cos\varphi-1\right)\, d\varphi =-\frac{8}{3}\int\limits^{\pi /2}_0\, (1-sin^2\varphi )\cdot d(sin\varphi )+\frac{8}{3}\cdot \varphi \Big|_0^{\pi /2}=$

$\displaystyle =-\frac{8}{3}\cdot \Big(sin\varphi -\frac{sin^3\varphi }{3}\Big)\Big|_{0}^{\pi /2}+\frac{8\pi }{6}=-\frac{8}{3}\cdot \Big(sin\frac{\pi}{2}-\frac{1}{3}\cdot sin^3\frac{\pi}{3}\Big)+\frac{8\pi }{6}=\\\\\\=-\frac{8}{3}\cdot \Big(1-\frac{1}{3}\Big)+\frac{8\pi }{6}=-\frac{8}{3}\cdot \frac{2}{3}+\frac{8\pi }{6}=\frac{24\pi -32}{18}$