Question

Найти общее или частичное решение диф. уравнения
$y''+2y'=4e^x$

Answer 1

$y''+2y'=4e^x$

Линейное диф. ур-е второго порядка. Неоднородность представлена в виде квазимногочлена вида $P_0(x)e^{\mu x}$, где $P_0(x)=4$ --- полином нулевого порядка (константа), $\mu = 1$.

1) Ищем общее решение однородного уравнения через характеристический многочлен ($y=e^{\lambda x}$)

$y''+2y'=0\\[5pt] \lambda^2+2\lambda = 0 \iff \left[\begin{array}{@{}l}\lambda_{1}=0 \\[5pt] \lambda_{2}=-2\end{array}\right. \\[5pt] y_0(x)=A\cdot e^{0x}+B\cdot e^{-2x}\\[5pt]\boxed{y_0(x)=A+Be^{-2x}}$

2) Поскольку $\mu=1$ не является решением характеристического уравнения, то частное решение ищем с полиномом той же степени, что стоит в неоднородности

$y_\text{p}(x)=ae^{x}\\[7pt] y_{p}''+2y_\text{p}'=4e^{x}\\[5pt] ae^x+2ae^x=4e^x\implies a=\dfrac{4}{3}\\[5pt]\boxed{y_\text{p}(x)=\dfrac{4}{3}e^x}$

Ответ. $y(x)=A+Be^{-2x}+\dfrac{4}{3}e^x\,,\quad \left\{A,\,B\right\}\subset\mathbb{R}$