Question

Найдите угол между прямыми MN и EF, если М(1; 1; 0), N(3; –1; 0), E(4; –1; 2), F(0; 1; 0).

Answer 1

Ответ:

30°.

Объяснение:

Для каждой прямой определим направляющий вектор и найдем его координаты.

Чтобы найти координаты вектора, надо от координат конца вычесть координаты начала вектора.

$M(1;1;0)\\N(3;-1;0)\\\vec {MN}( 2;-2;0);\\E(4;-1;2);\\F(0;1;0);\\\vec{EF} (-4;2;-2)$

Найдем косинус угла между векторами через скалярное произведение.

$\vec{MN}\cdot \vec{EF}=|\vec{MN}| \cdot|\vec{EF}|\cdot cos\alpha ,$

где α - угол между векторами . И если надо найти угол между прямыми, то угол должен быть острый и

$cos \alpha =\dfrac{|\vec{MN}\cdot \vec{EF}|}{|\vec{MN}|\cdot|\vec{EF}|} \\\\cos \alpha =\dfrac{|2\cdot(-4)+(-2)\cdot2 +0\cdot( -2)|}{\sqrt{2^{2}+(-2)^{2} +0^{2} }\cdot \sqrt{(-4) ^{2}+2^{2} +(-2)^{2} } } =\dfrac{|-8+(-4)+0| }{\sqrt{4+4+0} \cdot \sqrt{16+4+4} } =\\\\\dfrac{|-12| }{\sqrt{8}\cdot \sqrt{24} } =\dfrac{12}{2\sqrt{2}\cdot2\sqrt{6} } =\dfrac{12}{4\sqrt{12} } =\dfrac{3}{2\sqrt{3} } =\dfrac{\sqrt{3} }{2}$

$\alpha = 30^{0}$