В прямоугольном неравнобедренном треугольнике ABC с прямым уг- лом С проведена биссектриса СL. Точка К выбрана на гипотенузе CL этого треугольника так, что AL = BK. Перпендикуляр к AB, прохо- дящий через точку К, пересекает луч CL в точке N. Докажите, что KN = AB.
Ответы
Ответ:
Пошаговое объяснение:
Пусть AC меньше BC, тогда точки лежат в таком порядке A, H, L, M, B.
а) \angle LCM=45 градусов минус \angle MCB=45 градусов минус \angle MBC=45 градусов минус (90 градусов минус \angle BAC)=45 градусов минус (90 градусов минус \angle HAC)= =45 градусов минус \angle ACH=\angle HCL, что и требовалось (во втором равенстве использовалось свойство медианы прямоугольного треугольнике).
б) Рассмотрим треугольник CHM. HM= корень из 5 в степени 2 минус 3 в степени 2 =4. По свойству биссектрисы треугольника HL:LM=HC:CM=3:5, откуда HL= дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 и CL= корень из 3 в степени 2 плюс дробь, числитель — 9, знаменатель — 4 = дробь, числитель — 3 корень из 5, знаменатель — 2 .
Ответ: дробь, числитель — 3 корень из 5, знаменатель — 2 .