Question

На гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АВС точка К середина, а на катете ВС точка М такая, что BM: MC = 2:1. Пусть Р – точка пересечения отрезков AM и СК. Докажите, что прямая КМ касается окружности, описанной около треугольника АКР.​

Answer 1

Ответ:

Обозначим АВ = c, АС = b, ВС = а.

ВМ : МС = 2 : 1, значит

$BM=\dfrac{2a}{3},$     $MC=\dfrac{a}{3}$

Из прямоугольного треугольника АСМ по теореме Пифагора:

$AM=\sqrt{b^2+\dfrac{a^2}{9}}=\dfrac{1}{3}\sqrt{9b^2+a^2}$

Из ΔАМВ по теореме Менелая (см. рисунок):

$\dfrac{BK}{KA}\cdot \dfrac{AP}{PM}\cdot \dfrac{MC}{CB}=1$

$\dfrac{1}{1}\cdot \dfrac{AP}{PM}\cdot \dfrac{1}{3}=1$     ⇒       $\dfrac{AP}{PM}=\dfrac{3}{1}$     ⇒      

$\boldsymbol{PM}=\dfrac{1}{4}AM=\dfrac{1}{12}\sqrt{9b^2+a^2}$

Из ΔАВС:   $\cos \beta=\dfrac{a}{c}$

Из ΔКМВ по теореме косинусов:

$\boldsymbol{KM^2}=\dfrac{4a^2}{9}+\dfrac{c^2}{4}-2\cdot \dfrac{2a}{3}\cdot \dfrac{c}{2}\cdot\dfrac{a}{c}=$

$=\dfrac{4a^2}{9}+\dfrac{a^2+b^2}{4}-\dfrac{2a^2}{3}=$

$=\dfrac{16a^2}{36}+\dfrac{9a^2}{36}+\dfrac{9b^2}{36}-\dfrac{24a^2}{36}=$

$\boldsymbol{=\dfrac{a^2+9b^2}{36}}$

Проверим, если КМ² = РМ · АМ, то КМ - касательная.

$PM\cdot AM=\dfrac{1}{12}\sqrt{9b^2+a^2}\cdot \dfrac{1}{3}\sqrt{9b^2+a^2}=$

$=\dfrac{1}{36}(9b^2+a^2)=\dfrac{a^2+9b^2}{36}$

КМ² = РМ · АМ, значит КМ - касательная.