Question

приведите два примера когда log a b рациональное число
приведите два примера когда log a b иррациональное число

Answer 1

$\log_2 4$ рациональное.

Доказательство:

$\log_2 4=\log_2 2^2=2 \log_ 2 2=2$

$\log_2 3$ иррациональное.

Доказательство. Предположим, что рациональное, то есть представимо в виде несократимой дроби $m/n$:

$\log_2 3 =\dfrac mn\\3=2^{m/n}\\3^n=2^m$

Согласно основной теореме арифметики это равенство не может выполнятсья при $n,m \in \mathbb Z.$ Получили противоречие. Значит, $\log_ 2 3 \notin \mathbb Q.$

Answer 2

Ответ:

log

2

4 рациональное.

Доказательство:

\log_2 4=\log_2 2^2=2 \log_ 2 2=2log

2

4=log

2

2

2

=2log

2

2=2

\log_2 3log

2

3 иррациональное.

Доказательство. Предположим, что рациональное, то есть представимо в виде несократимой дроби m/nm/n :

\begin{gathered}\log_2 3 =\dfrac mn\\3=2^{m/n}\\3^n=2^m\end{gathered}

log

2

3=

n

m

3=2

m/n

3

n

=2

m

Согласно основной теореме арифметики это равенство не может выполнятсья при n,m \in \mathbb Z.n,m∈Z. Получили противоречие. Значит, \log_ 2 3 \notin \mathbb Q.log

2

3∈

/

Q.

Пошаговое объяснение:

жабппдщкдкдпдпдкдабмбредщадпжрж4жзудпдрдудазпдндедклелпшплп