Question

50 баллов, Геометриия. Помогите пожалуйста
2 вариант​

Answer 1

Даны четыре точки A( 4; 6; 5), B (6; 9; 4), C(2; 10; 10), D(7; 5; 9).

Составить уравнения:

а) прямой АB. Точки A( 4; 6; 5), B (6; 9; 4).

Направляющий вектор равен: АB = (6-4; 9-6; 4-5) = (2; 3; -1).

Уравнение АB: (x - 4)/2 = (y - 6)/3 = (z - 5)/(-1).

б) плоскости АBC. Точки A( 4; 6; 5), B (6; 9; 4), C(2; 10; 10).

Находим векторы АB и АC.

Вектор АВ найден: АB = (2; 3; -1).

АC = = (2-4; 10-6; 10-5) = (-2; 4; 5).

Нормальный вектор плоскости АBC находим из векторного произведения векторов АB и АC по схеме Саррюса.

i         j        k|        i         j

2        3       -1|       2       3

-2       4       5|       -2      4 = 15i + 2j + 8k - 10j + 4i + 6k =

                                          = 19i - 8j + 14k.

Нормальный вектор плоскости АBC равен (19; -8; 14).

Подставляем найденные координаты нормального вектора в уравнение плоскости:

(x−4)⋅19+(y−6)⋅(-8)+(z−5)⋅14=0.

19x - 8y + 14z – 98 = 0.

Уравнение АBC: 19x - 8y + 14z – 98 = 0.

в) прямой DE перпендикулярной к плоскости АBC; точка D(7; 5; 9).

Направляющим вектором прямой DE является нормальный вектор плоскости АBC, найденный ранее и равный (19; -8; 14).

Уравнение DE: (x - 7)/19 = (y - 5)/(-8) = (z - 9)/14.

г) прямой DN, параллельной прямой АB.

У этой прямой направляющий вектор равен вектору АB, равный (2; 3; -1).

Уравнение DN: (x - 7)/2 = (y - 5)/3 = (z - 9)/(-1).

д) плоскости проходящей через точку D перпендикулярно к прямой АB.

У этой плоскости нормальный вектор совпадает с вектором АB.

(x−7)⋅2 + (y−5)⋅3+(z−9)⋅(-1)=0.

2x - 14 + 3y – 15 – 1z + 9 = 0.

2x + 3y – 1z – 20 = 0.

Вычислить:

е) длину ребра BC.

Длина вектора a(X;Y;Z) выражается через его координаты формулой:

a = √(X² + Y² + Z²).

Находим координаты вектора BC по точкам B (6; 9; 4), C(2; 10; 10).

BC = (2-6; 10-9; 10-4) = (-4; 1; 6).

Длина BC = √((-4)² + 1² + 6²)  = √(16 + 1 + 36) = √53.

ж) угол между ребром CD и плоскостью ABC.

Точки C(2; 10; 10), D(7; 5; 9).

Находим вектор CD: s = (7-2; 5-10; 9-10) = (5; -5; -1).

Уравнение CD: (x -2)/5 = (y – 10)/(-5) = (z – 10)/(-1).

Нормальный вектор плоскости АВС q = (19; -8; 14).

Угол между векторами s и q равен углу между прямой и плоскостью:

sin φ = |cos ψ| = | s · q || s |·| q | =

= | sx · qx + sy · qy + sz · qz |/(√(sx² + sy² + sz²) · √(qx² + qy² + qz²)) =

= | 19 · 5 + (-8) · (-5) + 14 · (-1) |/(√(19² + (-8)² + 14²) · √(5² + (-5)² + (-1)²)) =

= | 95 + 40 - 14 |/(√(361 + 64 + 196) · √(25 + 25 + 1)) =

= 121/(√621 · √51) =  

= 121/√31671 = 121√391/3519 ≈ 0,67991.

φ = 42,837°

з) угол между координатной плоскостью OXY и плоскостью ABC.

Координатная плоскость Oxy имеет уравнение z = 0.

Уравнение плоскости АBC: 19x - 8y + 14z – 98 = 0.

Вычислим угол между плоскостями

z = 0 и  19x - 8y + 14z – 98 = 0.  

cos α = |A1·A2 + B1·B2 + C1·C2|/(√(A1² + B1² + C1²)* √(A2² + B2² + C2²)).

cos α = |0·19 + 0·(-8) + 1·14|/(√(0² + 0² + 1²)* √(19² + (-8)² + 14²)) =

= |0 + 0 + 14|/(√(0 + 0 + 1)* √(361 + 64 + 196)) =

= 14/(√1* √621) = 14/3√69= 14√69/207 ≈ 0,5618.

α = 55,82°.