Question

Чему равно наименьшее натуральное число n,для которого найдутся натуральные х и у,удовлетворяющие уравнение а)x×(x+n)=y^2 б)х×(х+n)=y^3 СРООЧНО​

Answer 1

Ответ:

а) n=3;

б) n=2

Объяснение:

а) x·(x+n)=y² .

Отсюда

$\tt n=\dfrac{y^2-x^2}{x} .$

Числа x, n и y натуральные. Так как x+n≥2, то y²>2 или y>1. Рассмотрим наименьшее значение y, то есть y=2.

Тогда

$\tt n=\dfrac{2^2-x^2}{x} =\dfrac{4}{x} -x >0.$

Отсюда следует, что x должен быть делителем 4. Делителями 4 будут числа 1, 2, 4. Подставим в выражение:

$\tt x=1 \Rightarrow n=\dfrac{4}{1} -1 = 3 >0; \\\\x=2 \Rightarrow n=\dfrac{4}{2} -2 = 0;\\\\x=4 \Rightarrow n=\dfrac{4}{4} -4 = -3 <0.$

Значит, наименьшее натуральное значение n=3.

б) х·(х+n)=y³ .

Отсюда

$\tt n=\dfrac{y^3-x^2}{x} .$

Числа x, n и y натуральные. Так как x+n≥2, то y³>2 или y>1. Рассмотрим наименьшее значение y, то есть y=2.

Тогда

$\tt n=\dfrac{2^3-x^2}{x} =\dfrac{8}{x} -x >0.$

Отсюда следует, что x должен быть делителем 8. Делителями 8 будут числа 1, 2, 4, 8. Подставим в выражение:

$\tt x=1 \Rightarrow n=\dfrac{8}{1} -1 = 7 >0; \\\\x=2 \Rightarrow n=\dfrac{8}{2} -2 = 2 > 0;\\\\x=4 \Rightarrow n=\dfrac{8}{4} -4 = -2 <0;\\\\x=8 \Rightarrow n=\dfrac{8}{8} -4 = -7 <0.$

Значит, наименьшее натуральное значение n=2.