Question

Помогите пожалуста!!
Задание вершины треугольника ABC
A(3;2;8) B(1;5;0) C(0;7;-2).Найти методами векторной алгебры:
А)Угол ABC;
Б)Уравнение медианы BD
В)площадь треугольника ABC
Г)Уравнение плоскости проходящей через точки A,B,C

Answer 1

Заданы вершины треугольника ABC A(3;2;8) B(1;5;0) C(0;7;-2).

Найти методами векторной алгебры:

А)Угол ABC.

Для этого надо найти векторы ВА и ВС.

Вектор ВА = (3-1; 2-5; 8-0) = (2; -3; 8),

модуль равен √(2² + (-3)² + 8²) = √(4 + 9 + 64) = √77.

Вектор ВС = (0-1; 7-5; -2-0) = (-1; 2; -2)

модуль равен √((-1)² + 2² + (-2)²) = √(1 + 4 + 4) = √9 = 3.

cos B = (2*(-1)+(-3)*2+8*(-2)/(3*√77) = -24/(3*√77) = -0,91168.

Угол В равен  2,71816 радиан или  155,7392 градуса.

Б)Уравнение медианы BD.

Находим координаты точки D как середины стороны АС.

D = (A(3; 2; 8) + C(0; 7; -2))/2 = (1,5; 4,5; 3).

Вектор BD = (1,5-1; 4,5-5; 3-0) = (0,5; -0,5; 3).

Уравнение BD: (x - 1)/0,5 = (y - 5)/4,5 = z/3.

В)площадь треугольника ABC.

Площадь треугольника равна половине модуля векторного произведения векторов ВА(2; -3; 8) и ВС(-1; 2; -2).

 i        j        k|       i        j

2      -3       8|      2      -3

-1        2       2|     -1        2 = -6i - 8j + 4k - 4j - 16i - 3k = -22i - 12j + 1k.

Найден вектор ВАхВС = (-22; -12; 1).

S = (1/2)√((-22)² + (-12)² + 1²) = (1/2)√(484 + 144 + 1) = √629/2 ≈ 12,54.

Г)Уравнение плоскости проходящей через точки A,B,C.

Нормальный вектор плоскости выше найден: (-22; -12; 1).

Осталось подставить координаты точки А(3;2;8) в уравнение плоскости:

(x - 3)*(-22) + (y - 2)*(-12) + (z - 8)*1 = 0.

-22x - 12y + z + 82 = 0.