Question

Срочно!!!!!!
Даны координаты вершин пирамиды А1, А2, А3, А4.
Требуется найти:
1) координаты и модули векторов А А и А А ; 12 14
2) угол между рёбрами А1А2 и А1А4; 3) площадь грани А1А2А3;
4) объём пирамиды;
5) уравнение плоскости А1А2А3;
6) уравнения прямой А1А2;
7) уравнения высоты и её длину, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3. Сделать чертёж.

А1(-2;-1;1), А2(-3;-1;5), А3(-4;0;1), А4(-2;1;3).

Answer 1

Даны координаты вершин пирамиды:

А1(-2;-1;1), А2(-3;-1;5), А3(-4;0;1), А4(-2;1;3).

Требуется найти:

1) координаты и модули векторов А1А2 и А1А4.

Вектор А1А2 = (-3-(-2); -1-(-1); 5-1) = (-1; 0; 4),  

модуль равен √((-1)² + 0² + 4²) = √(1 + 0 + 16) = √17.

Вектор А1А4 = (-2-(-2); 1-(-1); 3-1) = (0; 2; 2),  

модуль равен √(0² + 2² + 2²) = √(0 + 4 + 4) = 2√2.

2) угол между рёбрами А1А2 и А1А4.

cos(А1А2_А1А4) = ((-1)*0+0*2+4*2)/( √17*2√2) = 8/(2√34) ≈ 0,685994.  

Угол равен  0,8148 радиан или 46,686 градуса.

3) площадь грани А1А2А3.

Площадь треугольника А1А2А3 равна половине модуля векторного произведения векторов А1А2(-1; 0; 4),  и А1А3.

Находим вектор А1А3.

Вектор А1А3 = (-4-(-2); 0-(-1); 1-1) = (-2; 1; 0),  

Векторное произведение равно:

i         j        k|        i         j

-1       0       4|       -1       0

-2       1       0|       -2       1 = 0i - 8j - 1k - 0j - 4i - 0k =

                                          = -4i - 8j - 1k.

Получен нормальный вектор плоскости А1А2А3(-4; -8; -1).

Площадь S треугольника А1А2А3 равна:

S = (1/2)√((-4)² + (-8)² + (-1)²) = (1/2)√(16 + 64 + 1) = (1/2)√81 = 4,5.

4) объём пирамиды.

Объём пирамиды равен (1/6) модуля смешанного произведения векторов А1А2, А1А3 и А1А4.

Находим смешанное векторное произведение.

            А1А2хА1А3 = -4; -8; -1(найдено выше)

                       А1А4 = 0; 2; 2                      

(А1А2хА1А3)* А1А4 = |0+ (-16) + (-2)| = 18

Объём V = (1/6)*18 = 3.

5) уравнение плоскости А1А2А3;

Нормальный вектор плоскости А1А2А3(-4; -8; -1) (найден ранее).

Подставляем найденные координаты нормального вектора в уравнение плоскости с координатами точки А1:

(x+2)⋅(-4)+(y+1)⋅(-8)+(z−1)⋅(-1)=0.

-4x - 8y - 1z – 17 = 0.

Уравнение А1A2A3: 4x + 8y + z + 15 = 0.

6) уравнения прямой А1А2.

Составляем на основе найденного вектора А1А2(-1; 0; 4) как направляющего для этой прямой и точки А1(-2;-1;1).

Уравнение А1А2:(x + 2)/(-1) = (y + 1)/0 = (z – 1)/1.

7) уравнения высоты и её длину, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3.  

Направляющим вектором прямой А4М является нормальный вектор плоскости А1А2А3, найденный ранее и равный (-4; -8; -1).  

Точка А4(-2;1;3).

Уравнение А4М: (x + 2)/(-4) = (y - 1)/(-8) = (z - 3)/(-1).

Высоту из точки А4 на плоскость А1А2А3 находим по формуле:

H = 3V/S = (3*3)/(9/2) = 2.