Question

Нелинейные системы уравнений с двумя переменными
x/y+y/x+25/12
x^2+y^2=25

Answer 1

$\begin{cases}\dfrac xy+ \dfrac yx =\dfrac{25}{12}\\x^2+y^2=25\end{cases}<=>\quad\begin{cases}\dfrac{x^2+y^2}{xy}=\dfrac{25}{12}\\x^2+y^2=25\end{cases}<=>\quad\dfrac{25}{xy}=\dfrac{25}{12}$

ОДЗ:  $x\neq0;\; y\ne0$

$\dfrac{25}{xy}=\dfrac{25}{12}\\\\xy=\dfrac{25\cdot12}{25}\\\\xy=12$

$\begin{cases}xy=12\\x^2+y^2=25\end{cases}<=>\quad\begin{cases}x=\dfrac{12}y\\\bigg(\dfrac{12}y\bigg)^2+y^2=25\end{cases}<=>\quad\dfrac{144}{y^2}+y^2=25$

$\dfrac{144}{y^2}+y^2=25\qquad|\cdot y^2\ \ (ODZ:\;y\ne0)$

$144+y^4-25y^2=0$

Сделаем замену

$y^2=z$

$z^2-25z+144=0$

$\boxed{D = b^2-4ac}\\\\D=(-25)^2-4\cdot144=49$

49 > 0  =>  2 корня

$\sqrt{49}=7\\\\\begin{array}{lcl}z_1=\dfrac{25-7}{2}=9\\\\z_2=\dfrac{25+7}2=16\end{array} \qquad\qquad\boxed{z=\dfrac{-b\underline+\sqrt{D}}{2a}}$

Возвращаемся к замене

$\left[\begin{array}{lcl}y^2=9\\y^2=16\end{array} <=>\quad\left[\begin{array}{lcl}y_1=\pm\sqrt9\\y_2=\pm\sqrt{16}\end{array} <=>\quad\left[\begin{array}{lcl}y_1=\pm3\\y_2=\pm4\end{array}$

Выберем самое простое уравнение из всех вышеперечисленных систем

$xy=12$

$\begin{array}{lcl}x\cdot(-3)=12\\x_1=-4\end{array}\quad\qquad\begin{array}{lcl}x\cdot3=12\\x_2=4\end{array}\quad\qquad\begin{array}{lcl}x\cdot4=12\\x_3=3\end{array}\quad\qquad\begin{array}{lcl}x\cdot(-4)=12\\x_4=-3\end{array}$

Ответ:  $(-4;\;-3);\;(-3;\;-4);\;(3;\;4);\;(4;\;3)$