Question

Исследовать ряды на равномерную сходимость:

Answer 1

$u_n(x)=\dfrac{2-\sin nx}{n^4+\sqrt[4]{(9-x^2)^n}}.$   Область определения: 9-x²≥0; x∈[-3;3].

Модуль числителя |2-sin nx|≤|2|+|sin nx|≤2+1=3;

модуль знаменателя   $|n^4+\sqrt[4]{(9-x^2)^n}|=n^4+\sqrt[4]{(9-x^2)^n}\ge n^4\Rightarrow$

$|u_n(x)|\le\dfrac{3}{n^4}=c_n.$

Мажоранта для модуля n-го члена ряда построена. Получившийся ряд

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}c_n$ сходится, так он есть утроенный обобщенный гармонический ряд с показателем 4>1 (он еще называется рядом Дирихле). А тогда по признаку Вейерштрасса исходный функциональный ряд сходится равномерно (а заодно и абсолютно) на области определения членов ряда [-3;3].