Question

Вычислить приближённо с помощью степенных рядов.
Любой из двух вариантов

Answer 1

Рассмотрим одну из них — поиск синуса 18 градусов. Заметим, что традиционные методы преобразований исходного выражения Sin 18^\circ по формулам двойных, тройных углов, суммы и произведения функций здесь не помогут.

Начнем с последовательности очевидных равенств:

Sin 54^\circ=Sin \left ( \dfrac{\pi}{2}- 36^\circ \right )

Sin 54^\circ=Cos 36^\circ

(применили формулу приведения)

Sin 3 \cdot 18^\circ=Cos 2\cdot 18^\circ

3Sin18^\circ - 4Sin^3 18^\circ = 1- 2Sin^2 18^\circ(формула тройного и двойного углов)

Последнее равенство говорит о том, что Sin 18^\circ является корнем уравнения

3t-4t^3=1-2t^2

или после упрощения

4t^3-2t^2-3t+1=0

Очевидно, что x=1 является одним из его корней.

Следовательно по теореме Безу многочлен из левой части может быть разложен на множители, один из которых t-1 , а второй можно получит либо делением уголком, либо по схеме Горнера, либо непосредственными преобразованиями, выделяющими множитель t-1 . Они представлены ниже:

4t^2(t-1) + 2t^2-3t+1 =0

4t^2(t-1) + 2t(t-1) -t + 1 = 0

4t^2(t-1) + 2t(t-1) - (t -1) = 0

Выносим t-1 за скобку:

(t-1)(4t^2+ 2t -1) = 0

Приравнивая каждый множитель к нулю и решая полученное квадратное уравнение от второго множителя, получим три корня начального уравнения:

t_1=1; t_2 = \dfrac{-1-\sqrt{5}}{4};t_3 = \dfrac{-1+\sqrt{5}}{4}

Первые два корня не подходят, как как 18 градусов — угол первой четверти и поэтому Sin 18^\circ \in (0;1), а t_2 ~~ 0.30901