Question

Запишите уравнение плоскости в виде x+By+Cz+D=0, проходящей через точку M1(−10,−1,15) перпендикулярно двум плоскостям:
9x+2y+z+19=0;
19x+3y+2z−2=0.
В ответ введите числа B;C;D, разделив их точкой с запятой.

Answer 1

Для начала надо найти скалярное произведение нормальных векторов плоскостей. Нормальными векторами будут m {9, 2, 1} и n {19, 3, 2}.

Теперь нужно записать векторное произведение:

$\vec{m} * \vec{n} = \left[\begin{array}{ccc}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\m_{x}&m_{y}&m_{z}\\n_{x}&n_{y}&n_{z}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\9&2&1\\19&3&2\end{array}\right] = \\\\\\= \vec{i}\left[\begin{array}{ccc}2&1\\3&2\end{array}\right] -\vec{j}\left[\begin{array}{ccc}9&1\\19&2\end{array}\right] + \vec{k}\left[\begin{array}{ccc}9&2\\19&3\end{array}\right] = \vec{i} + \vec{j} -11 \vec{k}$

Плоскость, проходящая через точку M1, будет иметь такое уравнение:

$1(x + 10) + 1(y + 1) - 11(z - 15) = 0 \\x + 10 + y + 1 - 11z + 165 = 0 \\x + y - 11z + 176 = 0$

Ответ: 1;-11;176