Question

Ряд Макларена, сходимость рядов.
Нужно сделать любой 1 пример из этих четырех

Answer 1

1. $|u_n(x)|=\left|\dfrac{2-\sin nx}{n^4+\sqrt[4]{(9-x^2)^n}}\right|\le\dfrac{3}{n^4}=c_n.$

Ряд $\sum c_n$  сходится, поэтому ряд $\sum u_n(x)$ сходится равномерно (и абсолютно) на области определения ряда, то есть на отрезке [-3;3].

2. $|u_n(x)|\le \dfrac{(\rm{arctg}\ \frac{\pi}{4})^n}{n^2}< \dfrac{(\frac{\pi}{4})^n}{n^2}<\dfrac{1}{n^2}=c_n.$

Ряд $\sum c_n$  сходится, поэтому ряд $\sum u_n(x)$ сходится равномерно (и абсолютно) на промежутке $\left[-\dfrac{\pi}{8};\dfrac{\pi}{8}\right].$

3. $f(x)=x(1-\frac{(3x)^2}{2!}+\frac{(3x)^4}{4!}-\ldots +(-1)^n\frac{(3x)^{2n}}{(2n)!}+\ldots)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n\dfrac{3^{2n}x^{2n+1}}{(2n)!}$

4. Формально эту функцию нельзя разложить в ряд Маклорена, поскольку она не определена в нуле, но если ее доопределить в нуле по непрерывности значением 2, то получится разложение

$f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n\dfrac{2^{2n+1}x^{2n}}{(2n+1)!}.$