Question

Найти область сходимости ряда

Answer 1

Дан степенной ряд  $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n(x-x_0)^n,$   где    $a_n=\dfrac{1}{n\cdot 2^n},\ x_0=0.$

Найдем сначала радиус сходимости по формуле  $R=\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{a_n}{a_{n+1}}.$

$R=\lim\dfrac{(n+1)\cdot2^{n+1}}{n\cdot2^n}=2\lim\left(1+\dfrac{1}{n}\right)=2.$

Тем самым найден интервал сходимости $(x_0-R;x_0+R)=(-2;2).$

Остается исследование в точках  2 и - 2.

При x=2 получается ряд $\sum\dfrac{1}{n}.$  Этот ряд называется гармоническим. Как известно, он расходится (доказательство расходимости можно провести с помощью интегрального признака Коши).

При x = - 2 получается знакочередующийся ряд  $\sum\dfrac{(-1)^n}{n}.$  Он сходится по признаку Лейбница (члены ряда, взятые по модулю, монотонно стремятся к нулю). Поскольку ряд из модулей расходится. делаем вывод, что этот ряд сходится условно.

Вывод: областью сходимости является [-2;2).