Question

Два человека сели за 18-ти метровую скамейку ; если p-вероятность того что расстояние между ними больше 6 метров . То найдите 900p

Answer 1

Решать задачу будем с использованием геометрической вероятности.

Пусть скамейка имеет координаты от 0 до 18 соответственно.

Обозначим: $x$ - координата первого человека, $y$ - координата второго человека. Отметим, что $x\in[0;\ 18]$, $y\in[0;\ 18]$ в силу того, что длина скамейки ограничена.

Тогда, требуется найти вероятность того, что:

$|x-y|>6$

Изобразим графически на обычной координатно плоскости решение этого неравенства. Начнем с того, что перепишем его в виде совокупности:

$\left[\begin{array}{l} x-y>6\\ x-y<-6\end{array}$

Преобразуем неравенства так, чтобы в левой части был записан только $y$:

$\left[\begin{array}{l} -y>-x+6\\ -y<-x-6\end{array}$

$\left[\begin{array}{l} y<x-6\\ y>x+6\end{array}$

Изобразим его на координатной плоскости (картинка 1).

Учитывая, что $x\in[0;\ 18]$, $y\in[0;\ 18]$ , оставим в рассмотрении только эту область (картинка 2, синий квадрат).

Площадь, обозначенная синим квадратом, соответствует всем возможным событиям, а площадь заштрихованных областей соответствует благоприятным событиям.

Находим вероятность $p$ как отношение площади заштрихованных областей к площади синего квадрата.

$p=\dfrac{S_1}{S_2}$

Заштрихованная область представляет из себя два равных треугольника. Каждый из таких треугольников в свою очередь является равнобедренным и прямоугольным с катетом, равным 12. Таким образом, площадь заштрихованных областей:

$S_1=2\cdot\dfrac{12^2}{2} =12^2$

Синий квадрат имеет сторону, равную 18, поэтому его площадь:

$S_2=18^2$

Определяем вероятность $p$:

$p=\dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{12^2}{18^2}=\left(\dfrac{12}{18} \right)^2=\left(\dfrac{2}{3} \right)^2=\dfrac{4}{9}$

Определяем величину $900p$:

$900p=900\cdot\dfrac{4}{9} =400$

Ответ: 400