Question

Является ли функция y=Cx+1/C решением дифференциального уравнения xy'-y+1/y=0? (Ответ: нет)

Answer 1

Ответ:

X*d/dx*y(x)−y(x)+1y(x)=0

Это дифф. уравнение имеет вид:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),где

f1(x)=1

g1(y)=1

f2(x)=−1x

g2(y)=−y2(x)−1y(x)

Приведём ур-ние к виду:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Разделим обе части ур-ния на g2(y)

−y2(x)−1y(x)

получим

−y(x)ddxy(x)y2(x)−1=−1x

Этим самым мы разделили переменные x и y.

Теперь домножим обе части ур-ния на dx,

тогда ур-ние будет таким

−dxy(x)ddxy(x)y2(x)−1=−dxx

или

−dyy(x)y2(x)−1=−dxx

Возьмём от обеих частей ур-ния интегралы:

- от левой части интеграл по y,

- от правой части интеграл по x.

∫(−yy2−1)dy=∫(−1x)dx

Возьмём эти интегралы

−log(y2−1)2=Const−log(x)

Мы получили обыкн. ур-ние с неизвестной y.

(Const - это константа)

Решением будет:

y=y(x)= √C1x2+1

не является

Пошаговое объяснение: