Question

В конусе образующая равна l и наклонена к плоскости основания конуса под углом у. Сечная плоскость В проходит через вершину конуса и хорду АВ в его основе, при этом хорда АВ видна из центра основания конуса под углом а. Плоскость В образует с плоскостью основания конуса острый угол. 1) Изобразите сечение конуса плоскостью B и укажите вид полученного сечения. 2) Обоснуйте положение угла между плоскостью сечения и плоскостью основания. 3) Найдите периметр сечения. 4) Найдите площадь сечения.

Answer 1

Ответ:

Дан конус, вершина в точке S . ∠SBO=$\gamma$ ,  образующая SB= $l$ .

Сечение - плоскость β  - это плоскость АВS  ,  ∠AOB=α  .

1)  Сечение АВS - равнобедренный треугольник, т.к. SB=SA=$l$ .

2) Угол между пл. АВS и пл. основания равен углу между двумя перпендикулярами , проведёнными в этих плоскостях к линии их пересечения . Такими перпендикулярами будут высота SH  равнобедренного ΔАВS , основание которого , точка Н, является серединой стороны АВ , и перпендикуляр равнобедренного ΔАОВ ( АО=ВО=радиусу окружности ), основанием которого служит всё та же точка Н .

Угол между пл. АВS и пл. основания - это ∠SHO .

3) Периметр сечения ABS равен   $P=AB+SA+SB=AB+2l$  .

Из  ΔАSО:  ОА - радиус окр. R .    $R=l\cdot cos\gamma$  

Из  ΔАОВ по теореме косинусов  $AB^2=OA^2+OB^2-2\cdot OA\cdot OB\cdot cos\alpha$

$AB^2=2R^2-2R^2\cdot cos\gamma=2R^2\cdot (1-cos\gamma )=2R^2\cdot 2sin^2\dfrac{\gamma }{2}=4R^2\cdot sin^2\dfrac{\gamma }{2}\\\\AB=2R\cdot sin\dfrac{\gamma }{2}=2\, l\, cos\gamma \cdot sin\dfrac{\gamma }{2}$

$P=2\, l\, cos\gamma\cdot sin\dfrac{\gamma }{2}+2l=2\, l\, \cdot (\, cos\gamma \cdot sin\dfrac{\gamma }{2}+1\ )$  

$4)\ \ \ S(ABS)=\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot SH$

Из  ΔSBO:  $SH^2=SB^2-\Big(\dfrac{AB}{2}\Big)^2=l^2-l^2\, cos^2\gamma\cdot sin^2\dfrac{\gamma }{2}=l^2\, \Big(1-cos^2\gamma \cdot sin^2\dfrac{\gamma }{2}\Big)\ \ \ ,\\\\SH=\sqrt{l^2\, \Big(1-cos^2\gamma \cdot sin^2\dfrac{\gamma }{2}\Big)}=l\cdot \sqrt{1-cos^2\gamma \cdot sin^2\dfrac{\gamma }{2}\Big}$

$S=l^2\, cos\gamma \cdot sin\dfrac{\gamma }{2}\cdot \sqrt{1-cos^2\gamma \cdot sin^2\dfrac{\gamma }{2}\Big}$