Question

вычислить площадь фигуры ограниченной линиями y=tgx y=0 x=п/4​

Answer 1

Объяснение:

$y=tgx\ \ \ \ y=0\ \ \ \ x=\frac{\pi }{4} \ \ \ \ S=?\\tgx=0\\x=0\ \ \ \Rightarrow\\S=\int\limits^{\frac{\pi }{4}} _0 {(tgx-0)} \, dx =\int\limits^{\frac{\pi }{4}} _0 {tgx} \, dx=\int\limits^{\frac{\pi }{4}} _0 {\frac{sinx}{cosx} } \, dx =\left|\begin{array}{ccc}u=cosx\\du=-sinxdx\\dx=-\frac{du}{sinx} \end{array}\right|.\\\int\limits {\frac{sinx}{u} } \, (-\frac{du}{sinx} )=-\int\limits {\frac{du}{u} } =- lnu=-ln|cosx|.$

$S=-ln|cosx|\ |_0^{\frac{\pi }{4}}=-(ln|cos\frac{\pi }{4} |-ln|cos0|)=-(ln\frac{\sqrt{2} }{2}-ln1) =-ln\frac{\sqrt{2} }{2} =\\=-(ln\sqrt{2} -ln2)=-(ln2^{\frac{1}{2}} -ln2)=-(\frac{1}{2}*ln2-ln2)=-(-\frac{1}{2}*ln2)=\frac{ln2}{2}.$

Ответ: S≈0,346574 кв. ед.