Question

Диагональ осевого сечения цилиндра равна 10 см, а угол между диагоналями осевого сечения, лежащего против диаметра основания, – 120°. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра​

Answer 1

Ответ:

25√3π см²

Объяснение:

П​лощадь боковой поверхности цилиндра​:

S =  2πRH, где R - радиус цилиндра, H  - его высота

Осевое сечение цилиндра — это сечение цилиндра плоскостью, которая проходит через ось цилиндра. Это сечение является прямоугольником.

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. ⇒ АО=ОС=10/2=5см

Рассмотрим ΔАОД. АО=ОД=5 см, ∠АОД=120° - по условию.

По теореме косинусов найдём диаметр цилиндра АД:

АД²=АО²+ОД²-2*АО*ОД*cos ∠АОД = 5²+5²-2*5*5*(-1/2) = 50+25=75

АД = 5√3 cм

R= 1/2  * АД = $\frac{5\sqrt{3} }{2}$ см

ОО₁ ⊥ АД, как высота цилиндра.

Рассмотрим прямоугольный ΔОО₁Д.  ∠О₁ = 90°.

∠О₁ОД = 120°/2=60° (т.к. высота равнобедренного ΔАОД(АО=ОД) является биссектрисой).

⇒∠ОДО₁= 90-60=30°

Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы: ОО₁ = 1/2 * ОД = 1/2*5 = 2,5 см

⇒ H = 2*ОО₁ = 5 см

S =  2πRH = 2π * $\frac{5\sqrt{3} }{2}$ * 5 = 25$\pi$ √3 см²