Question

В арифметической прогрессии a_{3} = -13; a_{7} = 3. Найдите, при каком количестве членов сумма всех членов прогрессии будет наименьшей.
Правильный ответ 6

Answer 1

Ответ:

n = 6

Пошаговое объяснение:

Дано:

$a_{n + 1} =a_{n} + d \\ a_{3} = -13; \: a_{7} = 3$

Найти:

$\min( S_n), n=?$

Решение:

Приведу формулы:

- общего члена:

$a_n=a_1 + (n-1)d$

или

$a_{m}=a_{k} + (m-k)d$

- суммы арифметической прогрессии

$S_n=\frac{a_1+a_n}2 \cdot n ,$

Нам известны а3 и а7 арифметической прогрессии

$a_{3} =a_{1} + (3 - 1)d = 13 ; \: \\ a_{7} =a_{1} + (7 - 1)d = 3$

Решаем систему:

$\small \begin{cases} a_{1}{ +} 2d{ =}{ - }13 ; \: \\ a_{1} + 6d = 3 \\ \end{cases} < = > \begin{cases} - a_{1} { - }2d {= }13 ; \: \\ a_{1} + 6d = 3 \\ \end{cases} \bigg | + \\ \begin{cases} 4d = 16; \: \\ a_{1}{ =} 3 {-} 6d\\ \end{cases} < = > \begin{cases}d = 4; \: \\ a_{1}{ =} 3{ - }24 {= -}21 \\ \end{cases}$

Получаем, что прогрессия имеет вид:

$a_n=-21+4(n-1)=4n-25$

Тогда:

$S_n=\frac{a_1+a_n}2 \cdot n , \\ S_n=\frac{ - 21 - 21+4(n-1)}{2} \cdot n$

Прогрессия начинается с отрицательных значений и возрастает. Очевидно, что наименьшая сумма у прогрессии будет тогда, когда n-ный член прогрессии отрицательный, а (n+1)-ый член уже положительный.

Для нахождения такого члена решим уравнение:

$4n-25=0\\ n= \frac{25}{4}=6.25$

Т.к. n - натуральное, то в нашем случае

При n = 7 > 6.25 - первый положительный член прогрессии => сумма прогрессии начинает возрастать

при n = 6 < 6.25 - последний отрицательный член прогрессии => сумма прогрессии минимальна.

Проверим: при n=6

$a_1= - 21\qquad \qquad \qquad \: \: \quad \qquad\\ a_6={ -21+5 \cdot{4}} = - 21 + 20 = - 1 \\ S_6=\frac{ - 21 -1}{2} \cdot 6 = \frac{ - 22}{2} \cdot 6 = - 66$

При n = 5 и n = 7:

$a_1= - 21\qquad \qquad \qquad \: \: \quad \quad\\ a_5={ -21{+}4{ \cdot}{4}} = - 21 {+}16 = -5 \\ S_5{=}\frac{{ -} 21 {-}5}{2} {\cdot} 5{ =} \frac{ - 26}{2} {\cdot} 5{ =}{ -13}{ \cdot} 5 {= - }65 \\ \\ a_7={ -21{+}6{ \cdot}{4}} = - 21 {+}24 = 3 \\ S_7{=}\frac{{ -} 21 { + }3}{2} {\cdot} 7{ =} \frac{ -18}{2} {\cdot} 7{ =}{ -9}{ \cdot} 7 {= - }63 \\\\ = \frac{4n - 46}{2} \cdot n = 2n^{2} - 23n ,$

Как мы видим,

$\: \large^{S_5 > S_6;} _{S_7 > S_6} \small \: => \min {S_n} = S_6 = > n = 6$