Скласти рівняння геометричного місця точок, сума квадратів віддалей яких до точок А(2,1) і В(3,0) рівна 50.
Ответы
Скласти рівняння геометричного місця точок, сума квадратів віддалей яких до точок А(2,1) і В(3,0) рівна 50.
Эту задачу можно решить двумя способами.
Пусть квадрат одного расстояния x², а другого y², то получаем, что заданное геометрическое место точек - окружность, так как
x² + y² = (√50)² (это не настоящее уравнение, а только логическое рассуждение).
1) Если равны квадраты расстояний от точек А и В, то равны и сами расстояния.
Поэтому с геометрической точки зрения такие 2 такие точки находятся на перпендикуляре к середине отрезка АВ (пусть это точка С).
Расстояние EC и DC как радиусы R равны высоте h равнобедренного треугольника.
Находим положение точки С как середины отрезка АВ.
С = ((3+2)/2; (1+0)/2) = (2,5; 0,5).
Длина АС = ВС = (1/2)√((3-2)² + (0-1)²) = (1/2)√2 = √2/2.
AD² = BD² = 50/2 = 25,
AD = BD = √25 = 5.
R = h = √(5²-(√2/2)²) = √(25-2/4) = √98/2 = 7√2/2 ≈ 4,9497.
Получаем уравнение окружности с центром в точке С(2,5; 0,5) и радиусом R = 7√2/2:
(x - (5/2))² + (y - (1/2)² = (7√2/2)².
2) Аналитический метод.
Примем координаты точки, находящейся на заданной фигуре, равной M(x; y).
Запишем заданное условие: MA² + MB² = 50.
В координатной форме это будет так:
(x - 2)² + (y - 1)² + (x - 3)² + y² = 50. Раскрываем скобки.
x² - 4x + 4 + y² - 2y + 1 + x² - 6x + 9 + y² = 50. Получаем:
2x² + 2y² - 10x - 2y - 36 = 0.
Разделим на 2 и выделяем полные квадраты.
(x² - 2*(5/2)x + (25/4)) - (25/4) + (y² - 2*(1/2)y + (1/4)) - (1/4) - 18 = 0.
Получаем уравнение окружности.
(x - (5/2))² + (y - (1/2)) = 49/2 = (7/√2)² = (7√2/2)².
.
.
