Question

СРОЧНО!!! ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ, С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
(1+е^х) * у'=у

Answer 1

$(1 + e^x)*y' = y$

$\frac{1}{(1 + e^x)*y'} = \frac{1}{y}$

$\frac{1}{(1 + e^x)*\frac{dy}{dx}} = \frac{1}{y}\\\\\frac{dx}{(e^x + 1)*dy} = \frac{1}{y}\\\\\frac{dx}{e^x + 1} = \frac{dy}{y}\\\\\int{\frac{dx}{e^x + 1}} = \int{\frac{dy}{y}}$

Интеграл в правой части равен ln |y|, а в левой части применим подстановку:

$e^x = t\\\\de^x = dt\\\\e^xdx = dt\\\\dx = \frac{dt}{e^x} = \frac{dt}{t}$

Тогда получим:

$\\ \int{\frac{1}{t(t + 1)}dt} = \ln{|y|}$

$\\ \int{\frac{1}{t}dt} - \int{\frac{1}{t + 1}dt} = \ln{|y|}$

$\ln{|t|} - \ln{|t + 1|} = \ln{|y|} \\\\\ln{e^x} - \ln{(e^x + 1)} = \ln{|y|}$

$ln{\frac{e^x}{e^x + 1}} = \ln{|y|} \\\\\frac{e^x}{e^x + 1} = y$

Модуль убирается, так как e^x > 0 и e^x + 1 > 0

Ответ: $y = \frac{e^x}{e^x + 1}$