Ответы
Ответ:
Пошаговое объяснение:
а) возьмём сколь угодно малое число ε>0 и составим неравенство 1/(2*n²)<ε. Решая его, находим n²>1/(2*ε) и n>1/√(2*ε). Если теперь взять в качестве числа N само число 1/√(2*ε) (если это число - целое) или ближайшее к нему меньшее его целое число, то окажется, что для всех n>N выполняется равенство 1/(2*n²)<ε. А это и означает, что lim 1/(2*n²)=0.
б) заметим, что 5*x²-4*x-1=5*(x-1)*(x+1/5). Таким образом, числитель и знаменатель можно сократить на x-1, и тогда останется доказать, что lim(5*x+1)=6 при x⇒1. Возьмём сколь угодно малое число ε>0 и составим неравенство /5*x+1-6/=/5*x-5/=5*/x-1/<ε, или /x-1/<ε1, где ε1=ε/5. Это неравенство равносильно двойному неравенству 1-ε1<x<1+ε1. Если теперь положить δ=ε1, то получается, что для всех x∈(1-δ;1+δ) выполняется неравенство /x-1/<ε1. Таким образом, по числу ε1 найдена соответствующая δ-окрестность числа 1. А это и означает, что число 6 действительно является пределом данного выражения при x⇒1.