Question

Знайти точки максимуму функції y=3+8x^2-x^4

Answer 1

Решение:

1) Знаходимо першу похідну функції::

$y=3+8x^{2}-x^{4};\\\\y'(x)=-x^{4}+8x^{2}+3;\\\\y'(x)=-4x^{3}+2*8x +0;\\\\y'(x)=-4x^{3}+16x.$

2) Прирівнюємо першу похідну до нуля:

$-4x^{3}+16x=0;\\\\-4x*(x^{2} -4)=0; |:(-4)\\\\x*(x^{2} -4)=0;\\\\x_{1} = 0;$

$x^{2} -4=0;\\\\x^{2} =4;\\\\x_{2}=2; x_{3} =-2.$

3) Потім підставляємо будь-які значення x в першу похідну в межах значень $x_{123}$ (до, після або між) :

$y' = -4x^{3}+16x;\\\\y'(-4) = -4*(-4)^{3}+16*(-4)=-4((-4)^{3} + 16)=-4(-64+16)=-4 * (-48) = \\=192 >0; +\\\\y'(-1) = -4*(-1)^{3}+16*(-1)=-4*(-1)-16=4-16=-12<0; -\\\\y'(1) = -4*1^{3}+16*1=-4*1+16=-4+16=12>0; +\\\\y'(3) = -4*3^{3}+16*3=3(-4*3^{2} +16)=3(-4*9+16)=3(-36+16)=\\=3*(-20)=-60<0; -$

Максимуми функції: -2 i 2, то тобто варіант відповіді Б.