Question

$\sqrt{4 - x} < x + 8$
решите неравенство ​

Answer 1

Ответ:

$x \in ( -5; \: 4]$

Пошаговое объяснение:

Проведем равносильное преобразование,

Возведем в квадрат правую и левую часть с учетом ОДЗ (подкоренное выражение должно быть неотрицательное), а также того, что правая часть должна быть положительной:

$\sqrt{4 - x} < x + 8 < = > \begin{cases} {4 - x} < (x + 8)^{2} \\ 4 - x \geqslant 0 \\ x+8>0\end{cases}$

$\begin{cases} {4 - x} < x^{2} + 16x + 64 \\ 4 \geqslant x \\ x>-8 \end{cases} \\ \begin{cases} x^{2} + 16x + 64 + x - 4 > 0 \\ x \leqslant 4\\x>-8 \end{cases} \\ \begin{cases} x^{2} + 17x + 60 > 0 \\ \left. \begin{array}{l}x \in \: ( - \infty ; \: 4] \\x \in(-8;\:\infty)\end{array}\right\} = > x \in \: ( -8 ; \: 4] \end{cases}$

По Т. Виета разложим верхнее выражение на множители:

${x}^{2} + 17x + 60 > 0 \\ (x + 12)(x + 5) > 0$

Т.у. график функции у = х²+17х+60 - парабола, ветви вверх, то решением неравенства станут интервалы:

$(x + 12)(x + 5) > 0 < = > \left[\begin{array}{l}x < - 12 \\x > - 5 \end{array}\right. \\ < = > \left[\begin{array}{l}x \in( - \infty ;\: -12)\\x \in( -5;\:+ \infty)\end{array}\right.$

С учетом изначальных ограничений:

$\begin{cases} \left[\begin{array}{l}x \in( - \infty ;\: -12)\\x \in( -5;\:+ \infty)\end{array}\right. \\ \: \:x \in \: ( - 8 ; \: 4] \end{cases} < = > x \in( -5; \: 4]$

Получаем ответ:

$x \in ( -5; \: 4]$