Скласти рівняння площини, яка проходить через точки A(1,1,0),
B(2,-1,-1) перпендикулярно до площини 5x+2y+3z-7=0
Ответы
Даны точки A(1; 1; 0), B(2; -1; -1) и плоскость 5x+2y+3z-7=0.
Написать уравнение плоскости, проходящей через точки А и В и перпендикулярной к заданной плоскости.
Вектор n(5 ; 2 ; 3) является нормальным вектором данной плоскости α.
Пусть точка М(x; y; z) расположена в искомой плоскости β .
Тогда в плоскости β расположены векторы АM(x - 1; y - 1; z) ; АВ(1; -2; -1) і вектор n.
Смешанное произведение этих трёх векторов должно равняться 0. Находим смешанное произведение:
| x - 1 y - 1 z |
| 1 -2 -1 | = 0 . Решаем эту матрицу по
| 5 2 3 | схеме Саррюса.
| x - 1 y - 1 z | x - 1 y - 1
| 1 -2 -1 | 1 -2
| 5 2 3 | 5 2 =
=(x – 1)*(-6) + (y – 1)*(-5) + z*2 – (y – 1)*3 – (x – 1)*(-2) – z*(-10) =
= -6x + 6 – 5y + 5 + 2z – 3y + 3 + 2x – 2 + 10z =
= -4x – 8y + 12z + 12 = 0, после сокращения на -4 получаем:
x + 2y – 3z – 3 = 0. Это искомое уравнение плоскости.
Ответ: x + 2y – 3z – 3 = 0.