Question

Решите неравенство sin^2x-2sinx<0

Answer 1

$\sin^2x-2\sin x<0$

$\sin x(\sin x-2)<0$

Произведение двух выражений будет отрицательно, если они имеют разные знаки. Запишем совокупность двух систем:

$\left[\begin{array}{l} \begin{cases} \sin x>0 \\ \sin x-2<0 \end{cases} \\ \begin{cases} \sin x<0 \\ \sin x-2>0 \end{cases}\end{array}\Rightarrow \left[\begin{array}{l} \begin{cases} \sin x>0 \\ \sin x<2 \end{cases} \\ \begin{cases} \sin x<0 \\ \sin x>2 \end{cases}\end{array}$

Рассмотрим из второй системы неравенство $\sin x>2$. Оно не имеет решений, так как синус принимает значения из отрезка $[-1;\ 1]$. Значит, и вся вторая система не имеет решений.

В рассмотрении остается первая система, решения которой будут соответствовать решениям совокупности:

$\begin{cases} \sin x>0 \\ \sin x<2 \end{cases}$

Рассмотрим неравенство $\sin x<2$. Оно напротив выполняется при любых значениях $x$ по тем же причинам: синус принимает значения из отрезка $[-1;\ 1]$.

Тогда, решение системы сводится к решению первого неравенства:

$\sin x>0$

$x\in(2\pi n;\ \pi+2\pi n), \ n\in\mathbb{Z}$

Ответ: $x\in(2\pi n;\ \pi+2\pi n), \ n\in\mathbb{Z}$