Question

2x=3[x]+4 Помогите, пожалуйста..

Answer 1

$2x=3[x]+4$

Воспользуемся тем, что любое число есть сумма своей целой и дробной части:

$a=[a]+\{a\}$

Получим:

$2([x]+\{x\})=3[x]+4$

$2[x]+2\{x\}=3[x]+4$

$2\{x\}=[x]+4$

$\{x\}=\dfrac{[x]+4}{2}$

Первый способ. Запишем оценку для дробной части числа, то есть для левой части равенства:

$0\leqslant \{x\}<1$

Так как левая часть равенства равна правой, то такую же оценку имеет и правая часть:

$0\leqslant \dfrac{[x]+4}{2}<1$

$0\leqslant [x]+4<2$

$-4\leqslant [x]<-2$

Целые числа, принадлежащие полученному диапазону, - это числа -4 и -3.

Тогда имеется два случая. Первый случай:

$[x_1]=-4$

$\Rightarrow\{x_1\}=\dfrac{[x_1]+4}{2}=\dfrac{-4+4}{2}=0$

$\Rightarrow x_1=[x_1]+\{x_1\}=-4+0=-4$

Второй случай:

$[x_2]=-3$

$\Rightarrow\{x_2\}=\dfrac{[x_2]+4}{2}=\dfrac{-3+4}{2}=0.5$

$\Rightarrow x_2=[x_2]+\{x_2\}=-3+0.5=-2.5$

Второй способ. Вернемся к записи:

$\{x\}=\dfrac{[x]+4}{2}$

Заметим, что в числителе дроби записано целое число. Тогда, если это число четное, то правая часть равенства - тоже целое число, то есть дробная часть правой части равна 0, а если нечетное, то дробная часть правой части равна 0.5.

Опять же получили два случая:

$\{x_1\}=0$

$\Rightarrow [x_1]=2\{x_1\}-4=2\cdot0-4=-4$

$\Rightarrow x_1=[x_1]+\{x_1\}=-4+0=-4$

$\{x_2\}=0.5$

$\Rightarrow [x_2]=2\{x_2\}-4=2\cdot0.5-4=-3$

$\Rightarrow x_2=[x_2]+\{x_2\}=-3+0.5=-2.5$

Ответ: -4 и -2.5