Question

Решить уравнение
y(xy'- y) = sqrt(x^4 + y ^4)

Answer 1

Вид дифференциального уравнения: линейное однородное ДУ.

Пусть $y=ux$, тогда $y=u'x+u$. Будем иметь:

$ux^2(u'x+u-u)=x^2\sqrt{1+u^4}$

x = 0; $uu'x=\sqrt{1+u^4}$

Пришли к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными.

$\frac{udu}{\sqrt{1+u^4}}=\frac{dx}{x}$

$\frac{1}{2}\int\frac{d(u^2)}{\sqrt{1+u^4}}=\int\frac{dx}{x}$

$\frac{1}{2}\ln\left|\sqrt{1+u^4}+u^2\right|+C=\ln|x|$

Подставив $u=\frac{y}{x}$, получим общий интеграл

$\frac{1}{2}\ln\left|\sqrt{1+\frac{y^4}{x^4}}+\frac{y^2}{x^2}\right|+C=\ln|x|$