Question

Докажите неравенство (a+1) (a+2)(a+3)(a+6)>96a^2 где a>0

Answer 1

Как известно, a+b≥2*sqrt(ab) для любых неотрицательных чисел a и b, причём равенство имеет место тогда и только тогда, когда a=b. Поэтому

a+3≥2*sqrt(3a)
a+6≥2*sqrt(6a)
a+3≥2*sqrt(2a)
a+1≥2*sqrt(a)

Перемножая эти неравенства, получим:
(a+3)(a+6)(a+2)(a+1)≥16*sqrt(36a^4), т. е.
(a+3)(a+6)(a+2)(a+1)≥96a^2.

Очевидно, равенство имеет место только в случае, когда одновременно a=3, a=6, a=2, a=1, что невозможно.