Question

ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ ПОКАЗАТЕЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ!!С РЕШЕНИЕМ

Answer 1

$2^{2x^2} + 2^{x^2 + 2x + 2} = 2^{5 + 4x}\\\\2^{2x^2} + 2^{x^2 + 2x + 2} - 2^{5 + 4x} = 0\\\\2^{5 + 4x}\left(\dfrac{2^{2x^2}}{2^{5+4x}} + \dfrac{2^{x^2 + 2x + 2}}{2^{5+4x}} - 1\right) = 0\\\\\\2^{5+4x}\left(2^{2x^2 - (5+4x)} + 2^{x^2+2x+2-(5+4x)}-1\right)=0\\\\\\2^{5+4x}\left(2^{2x^2-4x-5} + 2^{x^2-2x-3} - 1\right) = 0$

Так как $2^{5 + 4x} \neq 0$, то смело делим обе части уравнения.

$2^{2x^2 - 4x - 5} + 2^{x^2 - 2x - 3} - 1 = 0$

Возьмём замену $t = 2^{x^2 - 2x - 3}$, при этом $t > 0$. Тогда: $2^{2x^2 - 4x - 5} = \left(2^{x^2 - 2x - 3}\right)^2\cdot 2 = 2t^2$ .

$2t^2 + t - 1 = 0\\\\D = b^2 - 4ac = 1 + 8 = 9\\\\t_1 = \dfrac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{-1 + 3}{4} = \boldsymbol{\dfrac{1}{2}}\\\\\\t_2 = \dfrac{-b-\sqrt{D}}{2a} = \dfrac{-1-3}{4} = \boldsymbol{-1}$

Второй корень не удовлетворяет области определения замены ($t > 0$), значит, рассматриваем только первый.

$2^{x^2 - 2x - 3} = \dfrac{1}{2}\\\\\\2^{x^2 - 2x - 3} = 2^{-1}\\\\x^2 - 2x - 3 = -1\\\\x^2 - 2x - 2 = 0\\\\D = b^2 - 4ac = 4 + 8 = 12\\\\x_1 = \dfrac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{2 + \sqrt{12}}{2} = \dfrac{2 + 2\sqrt{3}}{2} = \dfrac{2\left(1 + \sqrt{3}\right)}{2} = \boldsymbol{1+\sqrt{3}}\\\\\\x_2 = \dfrac{-b-\sqrt{D}}{2a} = \dfrac{2-\sqrt{12}}{2} = \dfrac{2-2\sqrt{3}}{2} = \dfrac{2\left(1 - \sqrt{3}\right)}{2} = \boldsymbol{1 - \sqrt{3}}$

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $1 - \sqrt{3}\ ;\ 1+\sqrt{3}$ .