ПОМОГИТЕ
Даны точки А, В, С. Найти: а) уравнение и длину ВС; 6) уравнение высоты АД, в) уравнение прямой, проходящей через точку А параллельно ВС; г) уравнение прямой, соединяющей середины сторон АВ и ВС; д) угол А треугольника АВС.
А(2,2) В(3,2) С(4,0)
Ответы
Даны точки А(2,2), В(3,2), С(4,0).
Найти:
а) уравнение и длину ВС.
Вектор ВС = (4-3; 0 -2) = (1; -2). Модуль равен √(1² + (-2)²) = √5.
Уравнение ВС: (х - 2)/1 = (у - 2)/(-2).
или в общем виде 2x + у - 6 = 0.
б) уравнение высоты АД.
Высота АД перпендикулярна стороне ВС: 2x + у - 6 = 0
Её уравнение имеет вид х - 2у + С = 0 (коэффициенты А и В из уравнение стороны АВ меняются на В и -А. чтобы их скалярное произведение было равно нулю).
Для определения величины С подставим координаты точки А(2;2).
АД: 1*2 + 2*2 + С = 0, отсюда С = -2 - 4 = -6.
АД: х - 2у - 6 = 0.
в) уравнение прямой, проходящей через точку А параллельно ВС.
Так как заданная прямая (назовём её АК) - параллельна ВС: 2x + у - 6 = 0, то у неё сохраняются коэффициенты при переменных.
АК: 2х + у + С = 0.
Для определения величины С подставим координаты точки А(2;2).
АК: 2*2 + 1*2 + С = 0, отсюда С = -4 - 2 = -6.
АК: 2х + у - 6 = 0.
г) уравнение прямой, соединяющей середины сторон АВ и ВС.
Это будет средняя линия (назовём её ДЕ) треугольника, параллельная стороне АС.
Находим координаты точки Д, являющейся серединой стороны АВ.
Д = (А(2; 2) + В(3; 2))/2 = (2,5; 2).
Коэффициенты А и В общего уравнения ДЕ сохраняются такими же, как и у стороны АС. Находим уравнение стороны АС.
Точки А(2; 2) и С(4; 0).
Вектор АС = (4-2; 0-2) = (2; -2).
Уравнение АС: (х - 2)/2 = (у - 2)/(-2) или в общем виде
x + y – 4 = 0.
Тогда параллельная прямая ДЕ имеет вид x + y + С = 0.
Для определения параметра С подставим координаты точки Д(2,5; 2):
1*2,5 + 1*2 + С = 0, отсюда С = -2,5 - 2 = -4,5.
Уравнение ДЕ: х + у – 4,5 = 0 или в целых числах 2x + 2y – 9 = 0.
д) угол А треугольника АВС.
Вектор АВ = (3-2; 2-2) = (1; 0), модуль равен 1.
Вектор АС = (2; -2 ), модуль равен √8 = 2√2.
cos B = (1*2 + 0*(-2)) / (1*2√2) = 2 / (2*√2) = 1/√2 = √2/2.
B = arc cos(√2/2) = 45 градусов.