Question

Задача для гениев. Есть две рейки (каждая из который длиной в 3 см), первая из них может свободно вращаться на 360 градусов, и к ней прикреплена вторая рейка, которая может вращаться тоже на 360 градусов относительно второй.Есть ли формула, чтобы вычислить угол обеих, чтобы край второй рейки, допустим, достиг точки (4, 5)

Answer 1

Объяснение:

При длине рейки в 3 см достичь точки (4,5) невозможно, поскольку расстояние от начала первой рейки до конца второй (в случае, если обе рейки лежат на одной прямой) составляет 3 + 3 = 6 см, а кратчайшее расстояние до точки (4,5) составляет $\sqrt{4^2+5^2}=\sqrt{16+25}=\sqrt{41}$, что больше 6.

Допустим, нужная нам точка имеет координаты (x,y), а длина рейки равна S. Тогда кратчайшее расстояние до точки равно $\sqrt{x^2+y^2}$, и 2 рейки в сочетании с этим расстоянием составляют равнобедренный треугольник со сторонами S, S и $\sqrt{x^2+y^2}$.

По теореме косинусов в треугольнике со сторонами a, b и c и углом $\beta$ справедливо соотношение $a^2=b^2+c^2-2*b*c*cos\beta$. Для нашего треугольника данное выражение примет вид $(\sqrt{x^2+y^2})^2=S^2+S^2+2*S*S*cos\beta\\x^2+y^2=2S^2+2S^2*cos\beta\\2S^2*cos\beta=x^2+y^2-2S^2\\cos\beta=\frac{x^2+y^2-2S^2}{2S^2}$

Отсюда искомый угол будет равен $\beta=arccos\frac{x^2+y^2-2S^2}{2S^2}$.