Ответы
Ответ:
1) sin^4 x + sin^4 (x + pi / 4) = 1/4
Для преобразований используем формулу для косинуса двойного угла
sin^2 x = (1 - cos 2x) / 2
тогда
sin^4 x = (1 - cos 2x) ^ 2 / 4
Для преобразований используем формулу синуса суммы углов
in * (x + pi / 4) = sin x - cos n/4 + cos x sin r/4 = 1/ 12. (sin x + cos x)
sin^2 (x + pi / 4) = 1/2 (sin x + cos x)2 = 1/2 ·(sin² x + 2sin x - cos x + cos² x) =
= 1/2 (1 + sin 2x)
sin² (x + п/4) = [1/2 (1 + sin 2x)]2 = 1/4 -(1 + sin 2x)²
После преобразований получим такое уравнение:
(1 - cos 2x) ^ 2 / 4 + 1/4 * (1 + sin 2x) ^ 2 = 1/4
(1 - cos 2x) ^ 2 + (1 + sin 2x) ^ 2 = 1
раскроем скобки
1 - 2cos 2x + cos^2 (2x) + 1 + 2sin 2x + sin^2 (2x) = 1
преобразуем
1 - 2cos 2x + 1 + 1 + 2sin 2x = 1
22cos 2x + 2sin 2x = 0
1 - cos 2x + sin 2x = 0
2sin^2 x + 2sin x * cos x = 0
2sin x (sin x + cos x) = 0
sin x₁ = 0
X₁ = πn
sin x + cos x = 0
tg * x_{2} + 1 = 0
tg * x_{2} = - 1
x_{2} = - pi / 4 + pi*n
наимень ший положительный корень х = 3п/ 4
2)4 /sin x/ . sin(п/6 - x) = √3
2 /sin x/ . sin(п/6 - x) = √3/2
a) sin X >= 0
2 sin x . sin(п/6 - x) = √3/2
Воспользуемся формулой для произведения синусов:
sin x - sin(п/6 - x)= 1/2 [cos(x - п/6 + x) - cos(x + п/ 6 - x)] =
= 1/2 [cos(2x - п/6) - cos п/6] = 1/2 [cos(2x - П/6) - √3/2]
подставим полученное в уравнение
2.1/2 [cos(2x - п/6) - √3/2] = √3/2
cos(2x - П/6) - V3/2 = √3/2
cos(2x - п/6) = V3
косинус не может быть больше 1, поэтому при sin x≥ 0 уравнение решений не имеет.
б) sin x < 0
-2 sin x . sin(п/6 - x) = √3/2
Воспользуемся полученной выше формулой для произведения синусов:
sin x . sin(п/6-x) = 1/2 [cos(2x - п/б) - √3/2]
подставим в уравнение
-2-1/2 [cos(2x - п/6) - √3/2] = √3/2
-cos(2x - п/6) + √3/2 = √3/2
cos(2x - П/6) = 0
2х - п/6 =п/2 + пи
2x = п/2 + пn + п/6
2x = 2π/3 + în
x = п/3 + пn/2
наименьший положительный корень х = п/з